Предисловие ..................................................... 7 Введение ........................................................ 9 §1 Аппроксимация .............................................. 11 §2 Устойчивость ............................................... 20 §3 Сходимость ................................................. 26 §4 Схема Кранка-Николсона ..................................... 28 ЧАСТЬ А. Алгоритмы методов расщепления ......................... 33 Глава I. Методы покомпонентного расщепления (методы дробных шагов) ......................................................... 34 §5. Метод расщепления, основанный на неявных схемах первого порядка точности ........................................... 34 §6 Метод покомпонентного расщепления на основе схем Кранка— Николсона. Случай А = А1 + А2 .................................. 36 §7 Многокомпонентное расщепление задач на основе схем Кранка-Николсона ........................................... 36 §8 Общий подход к покомпонентному расщеплению на основе элементарных схем Кранка-Николсона ......................... 40 §9 Общая формулировка метода расщепления на основе многослойных схем .......................................... 41 §10 Двухслойная схема расщепления с весовыми коэффициентами .... 42 §11 Метод расщепления для систем, не принадлежащих классу Коши-Ковалевской ........................................... 43 §12 Схемы расщепления для уравнения теплопроводности. Локально-одномерные схемы .................................. 44 Глава II. Методы двуциклического покомпонентного расщепления ... 48 §13 Метод двуциклического покомпонентного расщепления. Случай оператора А = А1 + А2 .............................. 49 §14 Метод двуциклического многокомпонентного расщепления ....... 52 §15 Метод двуциклического покомпонентного расщепления для квазилинейных задач ........................................ 54 §16 Общий подход к методу двуциклического покомпонентного расщепления ................................................ 55 §17 Схема двуциклического покомпонентного расщепления для уравнения теплопроводности ................................. 57 Глава III. Методы расщепления с факторизацией операторов ....... 59 §18 Схемы факторизации оператора ............................... 59 §19 Неявная схема расщепления с приближенной факторизацией оператора .................................................. 62 §20 Метод стабилизации (явно-неявные схемы с приближенной факторизацией оператора) ................................... 63 §21 Общая схема метода приближенной факторизации оператора ..... 67 §22 Схемы приближенной факторизации для параболического уравнения .................................................. 69 Глава IV. Метод предиктор-корректор ............................ 72 §23 Метод предиктор-корректор. Случай А = А1 + А2 .............. 73 §24 Метод предиктор-корректор. Случай .................. 76 §25 Метод предиктор-корректор для параболического уравнения .... 77 Глава V. Метод переменных направлений и метод стабилизирующей поправки ....................................................... 79 §26 Метод переменных направлений ............................... 79 §27 Метод стабилизирующей поправки ............................. 80 §28 Общая формулировка метода стабилизирующей поправки ......... 81 §29 Применение схемы переменных направлений для параболического уравнения .................................. 82 Глава VI. Методы расщепления по физическим процессам ........... 85 §30 Метод расщепления по физическим процессам .................. 85 §31 Метод частиц в ячейке ...................................... 87 §32 Метод крупных частиц ....................................... 88 Глава VII. Попеременно-треугольные методы и метод переменных операторов ..................................................... 90 §33 Попеременно-треугольный метод .............................. 91 §34 Метод переменных операторов ................................ 92 §35 Обобщенный метод переменных операторов ..................... 93 §36 Схема попеременно-треугольного метода для параболического уравнения .................................................. 94 Глава VIII. Методы расщепления и метод переменных направлений - итерационные методы решения стационарных задач ... 96 §37 Метод стационирования. Общие понятия теории итерационных методов .................................................... 96 §38 Итерационные алгоритмы ..................................... 98 §39 Ускорение сходимости итерационных методов ................. 100 ЧАСТЬ Б. Методы исследования сходимости схем расщепления и схем переменных направлений ................................... 102 Глава IX. Исследование сходимости схем расщепления методом Фурье (спектральным методом) .................................. 105 §40 Общая формулировка метода Фурье ........................... 105 §41 Метод Фурье и исследование сходимости схем расщепления для стационарных задач .................................... 109 §42 Метод Фурье и обоснование схем расщепления для нестационарных задач ...................................... 112 Глава X. Метод априорных оценок и исследование сходимости схем расщепления .............................................. 116 §43 Простейшие априорные оценки ............................... 117 §44 Априорные оценки для схемы расщепления вида ....................................... 121 §45 Построение априорных оценок методом энергетических неравенств ................................................ 123 Глава XI. Расщепление эволюционной задачи на систему дифференциальных уравнений .................................... 129 §46 Расщепление на задачи, определенные на дробных интервалах, и метод слабой аппроксимации .................. 129 §47 Расщепление на задачи, определенные на всем интервале ..... 133 §48 Двуциклическое расщепление задачи ......................... 134 §49 Некоторые результаты сходимости и устойчивости ............ 136 Глава XII. Исследование сходимости и оптимизация итерационных методов .......................................... 138 §50 Достаточные условия сходимости методов .................... 138 §51 Выбор параметров в коммутативном методе переменных направлений ............................................... 143 §52 Выбор параметров в некоммутативном методе переменных направлений ............................................... 147 §53 Процедуры ускорения сходимости метода переменных направлений ............................................... 149 §54 Обобщения ................................................. 151 Глава XIII. Метод расщепления и метод декомпозиции в вариационных задачах .......................................... 152 §55. Метод расщепления и метод декомпозиции в классических вариационных задачах ..................................... 152 §56 Декомпозиция общей вариационной задачи .................... 154 §57 Вариационная задача с ограничениями ....................... 154 §58 Сходимость алгоритмов декомпозиции ........................ 155 ЧАСТЬ В. Приложения методов расщепления к задачам математической физики ......................................... 157 Глава XIV. Уравнение теплопроводности ......................... 157 §59 Схема двуциклического покомпонентного расщепления для параболического уравнения с тремя пространственными переменными ............................................... 157 §60 Схемы второго порядка точности для р-мерных параболических уравнений без смешанных производных ........ 161 §61 Схемы для уравнений со смешанными производными ............ 163 §62 Схемы типа метода переменных направлений .................. 165 §63 Схемы повышенного порядка точности ........................ 166 §64 Схемы метода конечных элементов и метода расщепления для двумерного параболического уравнения ...................... 169 Глава XV. Уравнения гиперболического типа ..................... 172 §65 Схема стабилизации для многомерного уравнения колебаний ... 172 §66 Схемы приближенной факторизации для уравнения колебаний ... 174 §67 Локально-одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения ................................ 176 §68 Схемы расщепления для многомерных гиперболических систем уравнений ................................................. 178 Глава XVI. Интегро-дифференциальное уравнение переноса ........ 185 §69 Постановка задачи. Схема неполного расщепления ............ 185 §70 Схема полного расщепления ................................. 188 §71 Схема приближенной факторизации оператора ................. 189 §72 Метод интегральных тождеств и метод расщепления ........... 190 §73 Схема численного решения нестационарного уравнения переноса в (х, у)-геометрии ............................... 195 §74 Методы расщепления как итерационные алгоритмы решения стационарного уравнения переноса .......................... 204 Глава XVII. Метод расщепления в задачах гидродинамики ......... 206 §75 Схемы расщепления для уравнений Навье-Стокса при ε-возмущении уравнений несжимаемой жидкости ............... 207 §76 Схема расщепления для уравнений несжимаемой жидкости с восстановлением дивергенции ............................... 209 §77 Общий принцип построения расщепления для уравнений Навье-Стокса .............................................. 213 Глава XVIII. Задачи метеорологии .............................. 219 §78 Уравнения гидротермодинамики атмосферы .................... 219 §79 Общий метод расщепления по физическим процессам на основе разделения характерных времен ...................... 224 §80 Аппроксимация уравнений по пространственным переменным и дискретные аналоги законов сохранения ..................... 225 §81 Метод расщепления по геометрическим переменным и численная реализация ...................................... 229 Глава XIX. Метод расщепления в задачах океанологии ............ 232 §82 Формулировка задачи. Расщепление уравнений по физическим процессам ...................................... 232 §83 Расщепление уравнений адаптации по плоскостям. Обобщение на негидростатический случай .............................. 235 §84 Расщепление уравнений адаптации «по рельефу» .............. 235 §85 Расщепление уравнений малой воды по координатам ........... 238 Список литературы ............................................. 240