Существенное влияние на нашу цивилизацию оказывает бурное внедрение новых информационных технологий в различные сферы человеческой деятельности. Это отражается, в частности, на процессе образования, введении новых дисциплин в учебные планы общеобразовательных и профессиональных школ разных уровней.

Использование в этом процессе программирования, обучение языкам программирования с использованием элементов математической логики и теории алгоритмов привело некоторых исследователей к выдвижению тезиса о специфическом способе мышления, об алгоритмическом мышлении.

Последствия эволюции различных аспектов в деятельности индивидуума, связанной с внедрением компьютеров, особенно персональных, еще не осознано во всех своих проявлениях. В качестве примера сошлемся на анализ В. Оконя [7] взглядов сторонников и противников программированного обучения. В этой связи отметим лишь констатируемую им тенденцию, заключающуюся в повороте от чрезмерного увлечения техникой к санкционированию ее рационального использования и выдвижение на первый план процесса обучения, направляемого педагогом.

Еще в 1966 году, выступая на Международном конгрессе математиков, А.Н.Колмогоров [3] сформулировал мысль о необходимости бережного отношения к традициям в преподавании математики. Заметим, что этот тезис не потерял своего значения и сейчас.

Одной из важнейших компонент обучения является наличие или выработка некоторой интуиции, аналогий, начиная с самых ранних ступеней обучения.

"Если материал чужд ребенку, то нужно изгнать заранее составленные взрослыми курсы из школы", -- этот тезис имел длительное воздействие на общеобразовательную школу США [5]. Но в некотором смысле всякий новый материал чужд, если человек не подготовлен к восприятию этого материала.

Еще в прошлом веке Дж.Дьюи считал, что одновременно должно происходить развитие способностей и заинтересованности. Заметим, что заинтересованность теряется в значительной мере, если вместо "понимания" требуется лишь только запоминание без выяснения логических зависимостей, или хотя бы части из них.

Ж.Пиаже [8] отмечал в этой связи, что необходимы психологическая естественность и единая целостность системы изложения материала.

Рассмотрим в качестве примера арифметические действия: сложение и вычитание, умножение и деление. Обычно этим действиям учатся на примерах двух-трехзначных чисел, в результате зачастую выпускники школ не могут внятно объяснить, какие алгоритмы они используют при арифметических действиях. Известный феномен в обучении: научились считать на трехзначных числах -- объясните общее правило. Преобладание такого подхода в ряде учебников заставило авторов задуматься, а можно ли в действительности ученику объяснить алгоритмы сложения чисел в десятичной системе счисления, подготовлен ли он для этого. Пытаясь оптимизировать используемые в повседневной жизни алгоритмы арифметических действий с точки зрения их надежности (например, уменьшения количества ошибок, описок), авторы предложили варианты алгоритмов и записи арифметических операций, несколько отличающиеся от общепринятых в школе. Одной из особенностей этих алгоритмов является их наглядность и обозримая длина циклов. Эта точка зрения нашла отражение в подготовленном учебнике по математике для 5 класса [9].

Эти алгоритмы или записи алгоритмов могут использоваться не только для вычислений, проводимых на бумаге, но и для объяснения работы со счетными устройствами (например, счеты, абаки). На их основе могут быть разработаны программы для производства арифметических действий компьютером. Отметим, что при этом на каждом шаге есть возможность проверить выполняемые действия. В то же время для использования этих записей и их понимания необходимо уметь оперировать только с таблицами умножения и сложения однозначных чисел. В [9] приведено подробное описание этих алгоритмов.

Следует отметить, что трактовка затронутых нами вопросов весьма неоднозначна, что находит отражение в дидактических подходах. В младших классах учебник зачастую не может быть " осилен" учащимся без посторонней помощи. Тем самым привычка читать " научный" текст начинает вырабатываться в старших классах и определенный круг учеников этим качеством вряд ли будет обладать. Следует провести более глубокий анализ этого положения дел [4]. Он должен затронуть вопросы использования аксиоматического метода. " Для описания одного и того же фрагмента реальности можно предложить огромное количество формальных систем... Сами аксиомы предлагаются исходя из некоторого интуитивного понимания, интуитивного или же реального знания...". Эти слова Ю.Л.Ершова [2] необходимо иметь в виду при обучении математике. Если за аксиомами, алгоритмами учащиеся не будут видеть некоторую близкую или реальную модель, то излагаемый материал будет осваиваться с трудом.

Необходимо проводить психологические исследования такие, как проводил Ж.Пиаже [8] на профессиональном математическом и психологических уровнях. В частности требует тщательного изучения вопрос о взаимодействии пары " человек-компьютер". Здесь важны совместные усилия профессиональных математиков, педагогов, психологов и даже этнологов. Слова М.Мид [6], что " без стимуляции психолога работа этнолога куда менее ценна", вне всякого сомнения могут быть распространены на более широкий круг специалистов, если говорить о преподавании математики в современных условиях.