Действительный член (1987), член-корреспондент (1981) АН СССР, доктор физико-математических наук (1961), профессор (1962). Математик. Специалист в области дифференциальной геометрии, теории функций вещественной переменной.

Научные интересы Ю.Г.Решетняка охватывают чрезвычайно широкий круг вопросов современной математики.

Помимо крупных достижений, относящихся к его первым и основным научным интересам - геометрии и теории функций вещественной переменной, ему принадлежат важные результаты в математической физике, вычислительной математике, функциональном анализе и в ряде других пограничных с анализом и геометрией областях науки.

Академик Ю.Г.Решетняк внес фундаментальный вклад в геометрию, теорию функций, в классическое вариационное исчисление и в ряд других разделов. Он является основоположником новых направлений в математике, занимающих пограничное место между анализом и геометрией. Одно из них получило название теории пространственных отображений с ограниченным искажением. Результаты Ю.Г.Решетняка являются основой исследований созданной им школы, насчитывающей несколько десятков докторов и кандидатов наук.

Ю.Г.Решетняк родился в г. Ленинграде. В 1947 г. после окончания средней школы он поступил на математико-механический факультет Ленинградского университета. Закончил обучение в четыре года и был оставлен в аспирантуре ЛГУ. Научным руководителем Ю.Г.Решетняка стал А.Д.Александров. В годы аспирантуры был заложен фундамент плодотворного научного сотрудничества А.Д.Александрова и Ю.Г.Решетняка, продолжавшегося более полувека. В 1954 г. Ю.Г.Решетняк защитил кандидатскую диссертацию «О длине и повороте кривой и о площади поверхности» и был направлен на работу в Ленинградское отделение Математического института им. В.А.Стеклова.

В 1957 г. было принято решение о создании нового научного центра в центре России - Сибирского отделения Академии наук. Ю.Г.Решетняк в числе первых молодых ученых откликнулся на призыв организаторов Сибирского отделения - академиков М.А.Лаврентьева, С.Л.Соболева и С.А.Христиановича - и уже в конце 1957 г. с семьей переехал в Новосибирск, где стал работать в новом Институте математики.

В Новосибирске Ю.Г.Решетняк написал все свои основные научные труды, прошел трудный путь от молодого ученого до маститого академика. Именно в Сибири окончательно сформировался оригинальный стиль исследований на границе между анализом и геометрией, характерный для Юрия Григорьевича, создана и отточена его виртуозная и очень своеобразная математическая техника. В Новосибирске в 1960 г. на Объединенном ученом совете СО АН Ю.Г.Решетняк защитил докторскую диссертацию на тему «Изотермические координаты в двумерных многообразиях ограниченной кривизны».

В Институте математики Юрий Григорьевич создал научное подразделение, ставшее вскоре крупным отделом анализа и геометрии. Научный авторитет Ю.Г.Решетняка столь велик, что уже в 1966 г. его по предложению академика А.И.Мальцева избрали заведующим кафедрой математического анализа Новосибирского госуниверситета, которую до этого возглавляли М.А.Лаврентьев и А.А.Ляпунов.

Авторитет сибирской математики в области анализа и геометрии в значительной мере связан с личными достижениями Юрия Григорьевича, многие из которых давно стали классическими. Здесь, прежде всего, следует назвать знаменитую теорему Ю.Г.Решетняка об изотермических координатах на двумерных многообразиях ограниченной кривизны, введенных А.Александровым. Мировую известность приобрело полученное Ю.Г.Решетняком окончательное решение проблемы М.А.Лаврентьева об устойчивости конформных отображений. Классическими стали теоремы Ю.Г.Решетняка о слабой сходимости якобианов и о полунепрерывности снизу функционалов вариационного исчисления.

Юрию Григорьевичу принадлежат первоклассные достижения в области геометрии. До его работ обсуждаемая теория многообразий ограниченной кривизны развивалась исключительно синтетическими средствами. Ю.Г.Решетняк охарактеризовал искомое многообразие возможностью специального задания его метрического элемента. Результата сравнимой силы и общности в многомерной римановой геометрии не существует до сих пор. Изотермические координаты Ю.Г.Решетняка позволили заменить обычные синтетические методы геометрии «в целом» чисто аналитическим аппаратом квазиконформных отображений и квазилинейных уравнений эллиптического типа.

Значительное число работ Ю.Г.Решетняка посвящено теории функций многих вещественных переменных и ее приложениям к геометрии, функциональному анализу, дифференциальным уравнениям и т.п. Полное решение проблемы М.А.Лаврентьева об устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространства потребовало разработки принципиально новых подходов, приведших Ю.Г.Решетняка к созданию теории отображений с ограниченным искажением и разработке связанных с ней важных аспектов нелинейной теории потенциала.

Педагогическая деятельность Ю.Г.Решетняка связана с постановкой и совершенствованием базового для студентов-математиков курса математического анализа. Им написан классический вузовский учебник «Курс математического анализа».

Научная и педагогическая деятельность Ю.Г.Решетняка получила высокую оценку. В 1980 г. ему присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки», в 1981 г. его избирают членом-корреспондентом по Отделению математики, а в 1987 г. - действительным членом по тому же Отделению. Ю.Г.Решетняк избран Иностранным членом Финской академии наук в 1996 г. и почетным членом Московского математического общества в 1997 г. Ю.Г.Решетняк награжден орденом «Знак почета» и медалями.