Основные понятия ............................................... 16 1 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ........................................... 17 1.1 Множества ................................................. 17 1.1.1 Элементы и части множеств .......................... 17 1.1.2 Алгебра множеств ................................... 18 1.1.3 Декартовы произведения ............................. 21 1.2 Соответствия .............................................. 22 1.2.1 Образы и прообразы ................................. 22 1.2.2 Функции ............................................ 24 1.2.3 Семейства множеств ................................. 26 1.3 Отношения ................................................. 29 1.3.1 Рефлексивность, транзитивность, симметричность ..... 29 1.3.2 Эквивалентности .................................... 30 1.3.3 Порядки ............................................ 33 1.4 Индукция .................................................. 38 1.4.1 Хорошо упорядоченные множества ..................... 38 1.4.2 Дискретные множества ............................... 40 1.4.3 Теорема Цорна ...................................... 42 1.5 Натуральные числа ......................................... 43 1.5.1 Десятичные натуральные числа ....................... 43 1.5.2 Теорема об изоморфизме ............................. 44 1.5.3 Счетные множества .................................. 44 2 АЛГЕБРА ................................................... 46 2.1 Общая алгебра ............................................. 46 2.1.1 Полугруппы ......................................... 46 2.1.2 Группы ............................................. 53 2.1.3 Кольца и поля ...................................... 70 2.1.4 Решетки ............................................ 79 2.1.5 Числа .............................................. 84 2.2 Линейная алгебра .......................................... 90 2.2.1 Векторные пространства ............................. 90 2.2.2 Линейные операторы ................................ 103 2.2.3 Линейные функционалы .............................. 116 2.2.4 Скалярные произведения ............................ 128 2.2.5 Нормированные пространства ........................ 135 2.2.6 Евклидовы пространства ............................ 145 2.3 Полилинейная алгебра ..................................... 155 2.3.1 Тензорные произведения ............................ 155 2.3.2 Внешние произведения ........;..................... 161 3 АНАЛИЗ ................................................... 165 3.1 Предел ................................................... 165 3.1.1 Топологические пространства ....................... 165 3.1.2 Направленные множества ............................ 186 3.1.3 Сходимость ........................................ 192 3.2 Дифференциал ............................................. 213 3.2.1 Определение дифференциала ......................... 213 3.2.2 Правила дифференцирования ......................... 221 3.2.3 Теорема Лагранжа .................................. 225 3.2.4 Почленное дифференцирование ....................... 230 3.2.5 Полные дифференциалы .............................. 232 3.2.6 Решение функциональных уравнений .................. 240 3.2.7 Формула Тейлора ................................... 257 1.5.1 Локальные минимумы ................................ 266 3.2.9 Гладкие кривые .................................... 276 3.2.10 Простейшая вариационная задача .................... 278 3.3 Интеграл ................................................. 281 3.3.1 Меры .............................................. 281 3.3.2 Классическое определение интеграла ................ 290 3.3.3 Предельные теоремы ................................ 307 3.3.4 Измеримые функции ................................. 314 3.3.5 Теоремы Фубини и Тонелли .......................... 317 3.3.6 Неопределенные интегралы .......................... 336 3.4 Анализ на многообразиях .................................. 341 3.4.1 Многообразия ...................................... 341 3.4.2 Теорема о ранге ................................... 345 3.4.3 Теорема Сарда ..................................... 347 3.4.4 Дифференциальные формы ............................ 348 3.4.5 Теорема Пуанкаре .................................. 350 3.4.6 Замена переменных ................................. 353 3.4.7 Интеграл по многообразию .......................... 355 3.4.8 Формула Стокса .................................... 361 3.4.9 Степень отображения ............................... 368 3.4.10 Приложения ........................................ 371 ОПЕРАТОРЫ ..................................................... 373 4 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ....................................... 373 4.1 Гильбертовы пространства ................................. 373 4.1.1 Ортогональное проектирование ...................... 373 4.1.2 Непрерывные линейные функционалы .................. 375 4.1.3 Пространства 2 = 2 (U, μ) ..................... 378 4.2 Ряды Фурье ............................................... 383 4.2.1 Коэффициенты Фурье ................................ 383 4.2.2 Изоморфизм гильбертовых пространств ............... 388 4.3 Пространства функций ..................................... 389 4.3.1 Метрические пространства .......................... 389 4.3.2 Гладкие функции ................................... 391 4.3.3 Пространства Лебега ............................... 397 4.3.4 Распределения ..................................... 400 4.3.5 Пространства Соболева ............................. 408 4.4 Преобразования Фурье ..................................... 411 4.4.1 Преобразование быстро убывающих функций ........... 411 4.4.2 Преобразование медленно растущих распределений .... 413 4.4.3 Преобразование Фурье - Планшереля ................. 415 4.4.4 Преобразование Фурье — Стилтьеса .................. 416 4.4.5 Преобразование Радона ............................. 417 4.5 Ограниченные линейные операторы .......................... 418 4.5.1 Продолжение функционалов .......................... 418 4.5.2 Равномерная ограниченность операторов ............. 420 4.5.3 Обращение операторов .............................. 421 4.5.4 Замкнутость графика оператора ..................... 423 4.5.5 Слабая компактность ............................... 425 4.6 Компактные линейные операторы ............................ 428 4.6.1 Примеры компактных операторов ..................... 428 4.6.2 Свойства компактных операторов .................... 430 4.6.3 Сопряженные операторы ............................. 432 4.6.4 Фредгольмовы операторы ............................ 433 4.6.5 Теоремы Фредгольма ................................ 437 4.7 Самосопряженные операторы ................................ 439 4.7.1 Банаховы сопряженные операторы .................... 439 4.7.2 Гильбертовы сопряженные операторы ................. 440 4.7.3 Эрмитовы и нормальные операторы ................... 442 4.7.4 Унитарные операторы ............................... 443 4.7.5 Положительные операторы ........................... 444 4.8 Спектры операторов ....................................... 446 4.8.1 Классификация спектров ............................ 447 4.8.2 Спектр замкнутого оператора ....................... 451 4.8.3 Спектр ограниченного оператора .................... 453 4.8.4 Спектр компактного оператора ...................... 455 4.8.5 Спектр самосопряженного оператора ................. 456 4.9 Спектральная теорема ..................................... 466 4.9.1 Проекторные меры .................................. 466 4.9.2 Интегралы ограниченных функций .................... 472 4.9.3 Интегралы неограниченных функций .................. 479 4.9.4 Спектральная теорема .............................. 483 4.9.5 Функции операторов ................................ 487 4.10 Операторная экспонента ................................... 489 4.10.1 Постановка задачи ................................. 489 4.10.2 Полугруппы операторов ............................. 491 4.10.3 Преобразование Лапласа ............................ 496 4.10.4 Теорема Стоуна .................................... 498 4.10.5 Эволюционные уравнения ............................ 499 5 НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ..................................... 504 5.1 Неподвижные точки ........................................ 504 5.1.1 Теорема Брауэра ................................... 504 5.1.2 Теоремы Тихонова и Шаудера ........................ 508 5.2 Седловые точки ........................................... 512 5.2.1 Теорема Какутани .................................. 512 5.2.2 Теорема Неймана ................................... 515 5.3 Монотонные операторы ..................................... 518 5.3.1 Определение и свойства ............................ 518 5.3.2 Уравнения с монотонными операторами ............... 521 5.4 Нелинейные сжатия ........................................ 522 5.4.1 Сжимающие полугруппы операторов ................... 522 5.4.2 Аппроксимация ..................................... 524 5.5 Теория степени отображения ............................... 525 5.5.1 Конечномерные пространства ........................ 525 5.5.2 Степень Лере - Шаудера ............................ 529 6 МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ...................................... 532 6.1 Определения .............................................. 532 6.1.1 Основные пространства ............................. 532 6.1.2 Нумерация ......................................... 533 6.1.3 Литературные ссылки ............................... 534 6.1.4 Матричные операторы в p ......................... 535 6.1.5 Матричные уравнения ............................... 538 6.2 Ограниченные матричные операторы ......................... 539 6.2.1 Вырожденные матрицы ............................... 539 6.2.2 Критерий ограниченности ........................... 540 6.2.3 Частные случаи .................................... 542 6.2.4 Карлемановские матрицы ............................ 543 6.2.5 Положительные матрицы ............................. 545 6.3 Компактные матричные операторы ........................... 545 6.3.1 Дополнительные матрицы ............................ 546 6.3.2 Критерий компактности ............................. 546 6.3.3 Частные случаи .................................... 549 6.3.4 Матрицы Гильберта — Шмидта ........................ 550 6.3.5 Положительные матрицы ............................. 551 6.4 Марковские операторы ..................................... 551 6.4.1 Условия ограниченности ............................ 552 6.4.2 Условия компактности .............................. 552 6.4.3 Марковские полиномы ............................... 553 6.4.4 Марковские операторы .............................. 554 6.4.5 Абсолютные значения ............................... 554 6.5 Решение линейного уравнения .............................. 555 6.5.1 Ограниченные операторы ............................ 556 6.5.2 Компактные операторы .............................. 556 6.5.3 Эрмитовы операторы ................................ 557 6.5.4 Компактные эрмитовы операторы ..................... 557 6.5.5 Вырожденные операторы ............................. 558 6.6 Примеры .................................................. 559 6.6.1 Специальная проблема моментов ..................... 559 6.6.2 Совместные распределения .......................... 562 6.6.3 Концевые серии .................................... 566 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................... 569 7 ДИСКРЕТНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА .................... 570 7.1 Элементарная вероятность ................................. 570 7.1.1 Определения ....................................... 570 7.1.2 Примеры ........................................... 571 7.2 Вероятность и среднее .................................... 573 7.2.1 Определения ....................................... 573 7.2.2 Примеры ........................................... 575 7.2.3 Свойства среднего ................................. 578 7.3 Дисперсия ................................................ 581 7.3.1 Определения ....................................... 581 7.3.2 Примеры ........................................... 583 7.4 Распределения ............................................ 588 7.4.1 Определения и примеры ............................. 588 7.4.2 Совместное распределение .......................... 589 7.4.3 Независимость ..................................... 591 7.5 Корреляционная теория .................................... 592 7.5.1 Коэффициент корреляции ............................ 592 7.5.2 Коэффициенты регрессии ............................ 597 7.6 Информация и энтропия .................................... 599 7.6.1 Определения ....................................... 599 7.6.2 Информационный критерий зависимости ............... 601 7.6.3 Энтропия .......................................... 602 7.6.4 Коэффициент информации ............................ 605 7.7 Условные средние и вероятности ........................... 610 7.7.1 Определения и примеры ............................. 611 7.8 Формулы полной вероятности и Байеса ...................... 614 7.8.1 Формула полной вероятности ........................ 614 7.8.2 Формула Байеса .................................... 616 7.9 Закон больших чисел ...................................... 617 7.9.1 Неравенства Колмогорова ........................... 617 7.9.2 Неравенства Бернулли и Чебышева ................... 621 8 НЕПРЕРЫВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ................... 623 8.1 Плотность ................................................ 623 8.1.1 Определения ....................................... 623 8.1.2 Примеры ........................................... 624 8.1.3 Функция распределения ............................. 626 8.2 Вероятность и среднее .................................... 627 8.2.1 Определения и примеры ............................. 627 8.2.2 Свойства среднего ................................. 629 8.3 Дисперсия ................................................ 630 8.3.1 Определения и свойства ............................ 630 8.3.2 Неравенство Чебышева .............................. 632 8.4 Корреляционная теория .................................... 632 8.5 Условные средние и вероятности ........................... 634 8.6 Классические предельные теоремы .......................... 636 8.6.1 Леммы ............................................. 636 8.6.2 Теоремы Лапласа и Пуассона ........................ 642 9 ОБЩИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ......................... 643 9.1 Вероятностное пространство ............................... 643 9.1.1 Определения ....................................... 643 9.1.2 Примеры ........................................... 644 9.1.3 Случайные величины ................................ 646 9.1.4 Случайные векторы ................................. 648 9.1.5 Случайные отображения ............................. 651 9.2 Средние .................................................. 654 9.2.1 Среднее значение .................................. 654 9.2.2 Дисперсия и ковариация ............................ 655 9.2.3 Законы больших чисел .............................. 657 9.2.4 Центральная предельная теорема .................... 659 9.2.5 Условные средние .................................. 661 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ ........................................... 666 1 Определения и примеры .................................... 666 1.1 Об определении обратных и некорректных задач ............. 666 1.2 Примеры обратных и некорректных задач .................... 675 2 Основы теории некорректных задач ......................... 691 2.1 Корректные и некорректные задачи ......................... 693 2.2 Устойчивость в различных пространствах ................... 695 2.3 Квазирешение Теоремы Иванова ............................ 697 2.4 Метод Лаврентьева ........................................ 701 2.5 Метод регуляризации Тихонова ............................. 704 2.6 Градиентные методы ....................................... 713 2.7 Псевдообратный оператор и сингулярное разложение оператора ................................................ 719 3 Классические задачи ...................................... 727 3.1 Математическое описание основных законов и уравнений математической физики .................................... 727 3.2 Уравнения первого порядка ................................ 733 3.3 Классификация дифференциальных уравнений второго порядка .................................................. 735 3.4 Эллиптические уравнения .................................. 737 3.5 Гиперболические и параболические уравнения ............... 743 3.6 Понятие корректности ..................................... 746 4 Примеры некорректных задач ............................... 748 4.1 Некорректные начально-краевые задачи ..................... 748 4.2 Аналитическое продолжение и внутренние задачи ............ 751 4.3 Слабо и сильно некорректные задачи. Задачи дифференцирования ........................................ 753 4.4 Сведение некорректных задач к интегральным уравнениям .... 754 5 Задачи физики, приводящие к некорректным задачам ......... 758 5.1 Интерпретация показаний физических приборов .............. 758 5.2 Интерпретация гравиметрических данных .................... 760 5.3 Задачи для уравнения диффузии ............................ 763 5.4 Определение физических полей по данным измерений ......... 764 5.5 Томография ............................................... 765 6 Операторные и интегральные уравнения ..................... 770 6.1 О понятиях корректности .................................. 770 6.2 Регуляризация ............................................ 773 6.3 Линейные операторные уравнения ........................... 777 6.4 Интегральные уравнения со слабыми особенностями .......... 782 6.5 Скалярные уравнения Вольтерра ............................ 784 6.6 Операторные уравнения Вольтерра .......................... 787 7 Эволюционные уравнения ................................... 791 7.1 Задача Коши и полугруппы операторов ...................... 791 7.2 Уравнения в гильбертовом пространстве .................... 793 7.3 Уравнения с переменным оператором ........................ 797 7.4 Уравнения второго порядка ................................ 798 7.5 Корректные и некорректные задачи Коши .................... 800 7.6 Уравнения с интегродифференциальными операторами ......... 802 8 Задачи интегральной геометрии ............................ 805 8.1 Постановка задач интегральной геометрии .................. 805 8.2 Задача Радона ............................................ 805 8.3 Задача определения функции по сферическим средним ........ 810 8.4 Задача общего вида на плоскости .......................... 816 8.5 Задачи общего вида в пространстве ........................ 825 8.6 Задачи вольтерровского типа с многообразиями, инвариантными относительно группы движения ............... 839 8.7 Задачи интегральной геометрии с возмущением на плоскости ................................................ 843 9 Обратные задачи .......................................... 852 9.1 О постановке обратных задач .............................. 852 9.2 Обратная динамическая задача. Метод линеаризации ......... 854 9.3 Общая схема исследования обратных задач для уравнений гиперболического типа .................................... 864 9.4 Связь между обратными задачами для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов .................................................... 872 9.5 Задачи определения римановой метрики ..................... 880 10 Несколько направлений в теории некорректных задач, обратных задач и приложений .............................. 888 Литература к части "Теория операторов" ........................ 890 Литература к части "Некорректные задачи" ...................... 898 Предметный указатель .......................................... 902