Предисловие ..................................................... 6 Часть I ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ЭРГОДИЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ............. 13 Глава 1. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ЭРГОДИЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА, НЕПРИВОДИМЫХ ПО ХАРРИСУ ............................... 14 §1 Введение ................................................... 14 §2 Основная теорема эргодичности и ее уточнения ............... 20 §3 Оценка вероятностей больших уклонений траекторий цепи. Геометрическая эргодичность ................................ 36 §4 Условия положительной возвратности случайных последовательностей. Метод пробных функций Ляпунова. Метод сближающих марковских моментов ....................... 45 §5 Устойчивость стационарных распределений .................... 55 Глава 2. УСЛОВИЯ ЭРГОДИЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА, НЕ СВЯЗАННЫЕ С НЕПРИВОДИМОСТЬЮ ПО ХАРРИСУ ...................... 59 §6 Введение. Эргодичность в среднем ........................... 59 §7 Эргодичность в терминах переходных вероятностей. Подход, основанный на положительности и непрерывности переходных ядер ............................................ 67 §8 Условия эргодичности, связанные с аналитическими свойствами случайных преобразований, определяющих цепь. Замечания о счетных цепях Маркова .......................... 73 §9 Тождества равновесия ....................................... 92 §10 Условия устойчивости ....................................... 99 Глава 3. СТОХАСТИЧЕСКИ РЕКУРСИВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ (ЦЕПИ МАРКОВА В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ) .................... 113 §11 Введение. Условия харрисовского типа эргодичности цепей Маркова и стохастически рекурсивных последовательностей ... 113 §12 Условия эргодичности стохастически рекурсивных последовательностей, связанные с аналитическими свойствами случайных преобразований, определяющих эти последовательности ........................................ 132 §13 Рекурсивные цепи (цепи Маркова в случайной среде) ......... 134 §14 Эргодичность рекурсивных цепей ............................ 143 §15 Условия существования стационарных обновляющих событий. Стационарные мажоранты. Ограниченность по вероятности ..... 154 §16 Устойчивость стационарных распределений рекурсивных цепей ..................................................... 175 Глава 4. ЭРГОДИЧНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ И ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ ......................................... 179 §17 Введение .................................................. 179 §18 Эргодичность марковских процессов с непрерывным временем .. 182 §19 Эргодичность процессов, допускающих вложенные рекурсивные или марковские цепи ........................... 186 Часть II Эргодичность и устойчивость многомерных цепей Маркова и марковских процессов ................................ 195 Глава 5. УСЛОВИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ВОЗВРАТНОСТИ И ЭРГОДИЧНОСТИ МНОГОМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА И МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ............ 196 §20 Введение .................................................. 196 §21 Условия существования функции Ляпунова в теореме 20.1, выраженные в терминах поверхностей ........................ 201 §22 Критерии эргодичности цепи в двумерном случае, выраженные в терминах моментов ............................ 204 §23 О критериях эргодичности в пространстве произвольной размерности ............................................... 215 Глава 6. ОПИСАНИЕ ИЗУЧАЕМЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ. ЭРГОДИЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И ВЕРОЯТНОСТИ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ОДНОМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ...................................... 218 §24 Описание рассматриваемых в главах 6-8 многомерных случайных блужданий ....................................... 218 §25 Цепи Маркова на полуоси ................................... 223 §26 Цепи Маркова на всей оси .................................. 226 §27 Вероятности больших уклонений ............................. 229 Глава 7. ЭРГОДИЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА .. 248 §28 Асимптотически однородные блуждания в положительном квадранте ................................................. 248 §29 Блуждания в двух соседних квадрантах ...................... 268 §30 Блуждание на всей плоскости ............................... 277 §31 Блуждание в полосе ........................................ 283 Глава 8. ЦЕПИ МАРКОВА В ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОКТАНТАХ РАЗМЕРНОСТИ D ≥ 3 ......................................................... 286 §32 Блуждания в трехмерном положительном октанте .............. 286 §33 Блуждание в положительном d-мерном октанте ................ 301 Глава 9. ЭРГОДИЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ ДИФФУЗИОННЫХ И СКАЧКООБРАЗНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ ............ 305 §34 Эргодичность диффузионных процессов ....................... 305 §35 Эргодичность скачкообразных процессов ..................... 316 §36 Устойчивость стационарных распределений ................... 317 Глава 10. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА (АППРОКСИМАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ) .................... 320 §37 Введение. Формулировка результатов для цепей на положительной полуоси ..................................... 320 §38 Сходимость к Г-распределению. Доказательство теоремы 37.2 ...................................................... 325 §39 Критический случай. Доказательство теорем 3.3, 3.4 ........ 332 §40 Сходимость к нормальному закону. Доказательство теоремы 37.5 ...................................................... 340 §41 Переходные явления для цепей Маркова на всей вещественной оси .......................................... 344 Часть III Вспомогательные предложения. Эргодичность и устойчивость сетей обслуживания и коммуникационных сетей ...... 355 Глава 11. ОЦЕНКИ МОМЕНТОВ И ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ ....................... 356 §42 Оценки моментов и вероятностей больших уклонений для сумм случайного числа случайных величин ............... 356 §43 Оценки моментов и вероятностей больших уклонений для граничных функционалов от блужданий, порожденных суммами случайных величин. Уточнение теоремы восстановления ....... 368 §44 Оценки моментов и вероятностей больших уклонений для некоторых граничных функционалов от Маркированных марковских случайных блужданий ............................ 375 Глава 12. ЭРГОДИЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ СЕТЕЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ И КОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ ...................................... 379 §45 Введение .................................................. 379 §46 Системы поллинга .......................................... 381 §47 Сети типа Джексона. Жидкостная модель ..................... 399 §48 Коммуникационные системы со случайным доступом ............ 415 §49 Ослабление условий экспоненциальности ..................... 422 Список литературы ............................................. 430 Предметный указатель .......................................... 439 Книга состоит из трех частей. Первая часть посвящена изучению свойств эргодичности и устойчивости для широкого класса случайных процессов. Здесь рассматриваются цепи Маркова, стохастически рекурсивные последовательности и так называемые рекурсивные цепи (цепи Маркова в случайной среде), а также континуальные относительно времени аналоги этих процессов. Во второй части книги изучаются эргодичность и устойчивость специального класса процессов - векторнозначных (многомерных) марковских процессов как с дискретным, так и с непрерывным временем. В одномерном случае изучены также так называемые переходные явления для «нагруженных» цепей Маркова, найдены аппроксимации для стационарных распределений цепи и для вероятностей больших уклонений. В последней, третьей части книги собраны вспомогательные предложения и приложения результатов, полученных в первых двух частях книги, к изучению эргодичности сетей обслуживания и коммуникационных сетей. Вспомогательные предложения включают в себя оценки моментов и вероятностей больших уклонений для сумм случайных величин и для граничных функционалов от марковских блужданий. В разделе, посвященном приложениям, рассмотрены системы поллинга, сети джексоновского типа и коммуникационные сети со случайным множественным доступом. Значительная часть результатов книги получена в последние годы и в монографической литературе освещается впервые. Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, знакомых с основами теории вероятностей Боровков А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. – М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 440 с. - Библиогр.: с.430-438. - Предм. указ.: с.439-440.     А.А.Боровков | Указатель трудов Подготовили: И.Павлова, С.Канн, Н.Штырова