Предисловие ..................................................... 7 Введение ....................................................... 10 Глава 1. Дискретное пространство элементарных событий .......... 13 §1 Вероятностное пространство ................................. 13 §2 Классическая схема ......................................... 15 §3 Схема Бернулли ............................................. 18 §4 Вероятность объединения событий. Примеры ................... 20 Глава 2. Произвольное пространство элементарных событий ........ 23 §1 Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство .... 23 §2 Свойства вероятности ....................................... 29 §3 Условная вероятность. Независимость событий и испытаний .... 30 §4 Формула полной вероятности и формула Байеса ................ 32 Глава 3. Случайные величины и функции распределения ............ 37 §1 Определения и примеры ...................................... 37 §2 Свойства функций распределения и примеры ................... 39 §3 Многомерные случайные величины ............................. 47 §4 Независимость случайных величин и классов событий .......... 50 §5*. О бесконечных последовательностях случайных величин ....... 57 §6 Интегралы .................................................. 57 Глава 4. Числовые характеристики случайных величин ............. 64 §1 Математическое ожидание .................................... 64 §2 Условные функции распределения и условные математические ожидания .................................................. 68 §3 Математические ожидания функций независимых случайных величин .................................................... 72 §4 Математическое ожидание случайных величин, не зависящих от будущего ................................................ 72 §5 Дисперсия .................................................. 76 §6 Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики .... 78 §7 Неравенства ................................................ 80 §8 Обобщение понятия условного математического ожидания ....... 82 §9 Условные распределения ..................................... 89 Глава 5. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами ....................................................... 96 §1 Законы больших чисел ...................................... 96 §2. Локальная предельная теорема ............................... 97 §3. Теорема Муавра-Лапласа и ее уточнения ..................... 102 §4. Теорема Пуассона и ее уточнения ........................... 104 §5 Неравенства для вероятностей больших уклонений в схеме Бернулли .................................................. 111 Глава 6. О сходимости случайных величин и распределений ....... 114 §1 Сходимость случайных величин .............................. 114 §2 Сходимость распределений .................................. 121 §3 Условия слабой сходимости ................................. 126 Глава 7. Характеристические функции ........................... 130 §1 Определение и свойства характеристических функций ......... 130 §2 Формула обращения ......................................... 135 §3 Теорема непрерывности (сходимости) ........................ 137 §4* Другой подход к доказательству теорем сходимости к известному распределению ................................ 138 §5 Применение характеристических функций в теореме Пуассона .................................................. 141 §6. Характеристические функции многомерных распределений Многомерное нормальное распределение ...................... 143 §7. Друга* применения х. ф. Свойства гамма-распределения ...... 146 §8 Производящие функции. Применение к изучению ветвящегося процесса. Задача о вырождении ............................. 151 Глава 8. Последовательности независимых случайных величин. Предельные теоремы ............................................ 155 §1 Закон больших чисел ....................................... 155 §2 Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин .......................... 156 §3. Закон больших чисел для произвольных независимых случайных величин ......................................... 157 §4 Центральная предельная теорема для сумм произвольных независимых случайных величин ............................. 164 §5 Другой подход к доказательству предельных теорем. Оценки погрешности ............................................... 171 §6 Локальная предельная теорема .............................. 174 §7 Закон больших чисел и центральная предельная теорема в многомерном случае ...................................... 177 §8*. Вероятности больших уклонений ............................ 179 §9*. Сходимость к другим устойчивым законам ................... 187 Глава 9. Элементы теории восстановления ....................... 195 §1 Процессы восстановления, функции восстановления ........... 195 §2 Основная теорема восстановления в решетчатом случае ....... 199 §3 Эксцесс и дефект случайного блуждания. Предельное распределение в решетчатом случае ......................... 204 §4 Теорема восстановления и предельное распределение эксцесса и дефекта в нерешетчатом случае .................. 206 §5 Закон больших чисел и центральная предельная теорема для процесса восстановления ............................... 210 Глава 10. Последовательности независимых случайных величин. Свойства траектории (0, S1, S2, ...) в целом .................. 213 §1 Законы нуля и единицы. Верхние и нижние функции ........... 213 §2 Сходимость рядов независимых случайных величин ........... 217 §3 Усиленный закон больших чисел ............................ 219 §4 Усиленный закон больших чисел для произвольных независимых слагаемых ..................................... 223 Глава 11. Факторизационные тождества .......................... 225 §1 Факторизационные тождества и их первые следствия .......... 225 §2 Факторизационные тождества-. Свойства траектории (0, S1, S2, ...) .......................................... 230 §3 Распределение S = тах(0, ζ) = ....................... 233 §4 Системы обслуживания ...................................... 234 §5 Факторизационные тождества для распределений, связанных с показательной функцией .................................. 235 §6 Симметричные непрерывно распределенные случайные величины .................................................. 237 §7. Тождество Поллачека-Спитцера .............................. 238 §8*.Явные формулы для дискретных блужданий, непрерывных сверху .................................................... 240 Глава 12. Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова ....................................................... 245 §1 Счетные цепи Маркова. Определения и примеры. Классификация состояний ................................... 245 §2 Необходимые и достаточные условия возвратности состояний. Теорема об однотипности состояний неразложимой цепи, структура цепи в периодическом случае ..................... 249 §3. Теоремы о случайных блужданиях по решетке ................. 252 §4. Эргодические теоремы ...................................... 257 §5*.Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей .... 264 §6 Цепи Маркова с произвольным множеством состояний. Эргодичность цепей, имеющих положительный атом ............ 265 §7*.Эргодичность харрисовых цепей Маркова ..................... 272 Глава 13. Информация и энтропия ............................... 284 §1 Определения, свойства информации и энтропии ............... 284 §2 Энтропия конечной цепи Маркова. Теорема об асимптотическом поведении информации длинного сообщения, ее приложения ............................................. 288 Глава 14. Мартингалы .......................................... 292 §1 Определения, простейшие свойства, примеры ................. 292 §2 О сохранении свойства быть мартингалом при замене времени на случайное. Тождество Вальда .................... 296 §3 Неравенства ............................................... 308 §4 Теоремы сходимости ........................................ 312 §5 Ограниченность моментов стохастических последовательностей ...................................... 316 Глава 15. Стационарные (в узком смысле) последовательности .... 321 §1 Основные понятия .......................................... 321 §2 Свойства эргодичности (метрической транзитивности), перемешивания и слабой зависимости ....................... 325 §3 Эргодическая теорема ...................................... 328 Глава 16. Стохастически рекурсивные последовательности ........ 332 §1 Основные понятия .......................................... 332 §2 Эргодичность при наличии обновляющих событий. Условия ограниченности ............................................ 333 §3 Условия эргодичности, связанные с монотонностью ........... 339 §4. Условия эргодичности для сжимающих в среднем преобразований, удовлетворяющих условию Липшица ........... 340 Глава 17. Случайные процессы с непрерывным временем ........... 347 §1 Общие определения ......................................... 347 §2 Условия регулярности процессов ............................ 351 Глава 18. Процессы с независимыми приращениями ................ 357 §1 Общие свойства ........................................... 357 §2 Винеровские процессы, свойства траекторий ................. 359 §3 Законы повторного логарифма ............................... 360 §4 Пуассоновские процессы .................................... 364 §5 Описание распределений всего класса процессов с независимыми приращениями ............................... 367 Глава 19. Функциональные предельные теоремы ................... 371 §1 Сходимость к винеровскому процессу (принцип инвариантности) ........................................... 371 §2 Закон повторного логарифма ................................ 378 §3 Сходимость к пуассоновскому процессу ..................... 381 Глава 20. Марковские процессы ................................. 385 §1 Определения и общие свойства .............................. 385 §2 Марковские процессы со счетным множеством состояний. Примеры ................................................... 388 §3 Ветвящиеся процессы ....................................... 394 §4 Полумарковские и регенерирующие процессы .................. 397 §5 Диффузионные процессы ..................................... 404 Глава 21. Процессы с конечными моментами второго порядка, гауссовские процессы .......................................... 410 §1 Процессы с конечными моментами второго порядка ............ 410 §2 Гауссовские процессы ...................................... 413 §3. Задача о прогнозе ........................................ 414 Приложения .................................................... 417 Приложение 1. Теорема о продолжении вероятностной меры ....... 419 Приложение 2. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях ............................................ 424 Приложение 3. Интегрирование .................................. 426 §1. Пространство с мерой ...................................... 426 §2. Интеграл по вероятностной мере ............................ 427 §3. Дальнейшие свойства интегралов ............................ 430 §4 Интеграл по произвольной мере ............................. 434 §5. Теорема Лебега о разложении и теорема Радона-Никодима ..... 437 §6 Слабая сходимость и сходимость по вариации распределений в произвольных пространствах .............................. 441 Приложение 4. Теоремы Хелли и Арцела-Асколи ................... 447 Приложение 5. Доказательство теоремы Берри-Эссена ............. 449 Приложение 6. Теоремы восстановления .......................... 453 Приложение 7. Таблицы ......................................... 460 Список литературы ............................................. 465 Предметный указатель .......................................... 467 Книга охватывает широкий круг вопросов, начиная с оснований теории вероятностей и заканчивая основными элементами теории случайных процессов. Сюда входят: достаточно полный аппарат современной теории вероятностей; разного рода предельные законы для сумм независимых случайных величин; теоремы о поведении траекторий, порожденных этими суммами, включая относящиеся сюда так называемые факторизационные тождества; элементы теории восстановления и различные ее приложения; цепи Маркова и эргодические теоремы для них; элементы теории информации; теория мартингалов и стохастически рекурсивных последовательностей; основы теории случайных процессов; теоремы об основных свойствах винеровских и пуассоновских процессов; функциональные предельные теоремы; элементы теории марковских, стационарных и гауссовских процессов и др. Боровков А. Теория вероятностей. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 470 с. - Библиогр.: с. 465-466. - Предм. указ.: с. 467-470.     А.А.Боровков | Указатель трудов Подготовили: И.Павлова, С.Канн, Н.Штырова