Предисловие .................................................... 12
Предисловие к третьему и четвертому изданиям ................... 14
Введение ....................................................... 17
Глава 1. Дискретное пространство элементарных событий .......... 21
§1. Вероятностное пространство ................................. 21
§2. Классическая схема ......................................... 24
§3. Схема Бернулли ............................................. 26
§4. Вероятность объединения событий. Примеры ................... 29
Глава 2. Произвольное пространство элементарных событий ........ 31
§1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство .... 31
§2. Свойства вероятности ....................................... 37
§3. Условная вероятность. Независимость событий и испытаний .... 39
§4. Формула полной вероятности и формула Байеса ................ 42
Глава 3. Случайные величины и функции распределения ............ 46
§1. Определения и примеры ...................................... 46
§2. Свойства функций распределения и примеры ................... 48
2.1 Основные свойства функций распределения ............... 48
2.2 Распределения, наиболее часто встречающиеся в теории
и приложениях ......................................... 51
2.3 Три типа распределений ................................ 53
2.4 Распределение функций от случайных величин ............ 56
§3. Многомерные случайные величины ............................. 58
§4. Независимость случайных величин и классов событий .......... 61
4.1. Независимость случайных величин ....................... 61
4.2. Независимость классов событий ......................... 64
4.3. Связь введенных понятий ............................... 65
§5*. О бесконечных последовательностях случайных величин ....... 68
§6. Интегралы .................................................. 69
6.1 Интеграл по мере ...................................... 69
6.2 Интеграл Стилтьеса .................................... 70
6.3 Интегралы от многомерных случайных величин.
Распределение суммы независимых случайных величин ..... 72
Глава 4. Числовые характеристики случайных величин ............. 77
§1. Математическое ожидание .................................... 77
§2. Условные функции распределения и условные математические
ожидания ................................................... 80
§3. Математические ожидания функций независимых случайных
величин .................................................... 84
§4. Математическое ожидание сумм случайного числа случайных
величин .................................................... 85
§5. Дисперсия .................................................. 93
§6. Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики .... 94
§7. Неравенства ................................................ 96
7.1 Неравенства для моментов .............................. 96
7.2 Неравенства для вероятностей .......................... 97
§8. Обобщение понятия условного математического ожидания ....... 99
8.1 Определение условного математического ожидания
(у. м. о) ............................................. 99
8.2 Свойства у. м. о. .................................... 103
§9. Условные распределения .................................... 107
Глава 5. Последовательность независимых испытаний с двумя
исходами ...................................................... 113
§1. Законы больших чисел ...................................... 113
§2. Локальная предельная теорема и ее уточнения ............... 115
2.1 Локальная предельная теорема ......................... 115
2.2 Уточнения локальной теоремы .......................... 117
2.3 Локальная предельная теорема для полиномиальных
распределений ........................................ 119
§3. Теорема Муавра—Лапласа и ее уточнения ..................... 119
§4. Теорема Пуассона и ее уточнения ........................... 122
4.1 Оценки близости распределений Пуассона и
распределений сумм Sn ................................ 122
4.2 Схема серий. Теорема Пуассона ........................ 125
§5. Неравенства для вероятностей больших уклонений в схеме
Бернулли .................................................. 129
Глава 6. О сходимости случайных величин и распределений ....... 131
§1. Сходимость случайных величин .............................. 131
1.1 Виды сходимости ...................................... 131
1.2 Теорема непрерывности ................................ 135
1.3 Равномерная интегрируемость и ее следствия ........... 136
§2. Сходимость распределений .................................. 141
§3. Условия слабой сходимости ................................. 147
Глава 7. Характеристические функции ........................... 151
§1. Определение и свойства характеристических функций ......... 151
1.1 Свойства характеристических функций .................. 152
1.2 Свойства х. ф., связанные со структурой
распределения ξ ...................................... 155
§2. Формулы обращения ......................................... 157
2.1 Формула обращения для плотностей ..................... 157
2.2 Формула обращения для распределений .................. 159
2.3 Формула обращения в L2- Класс функций, которые
одновременно являются плотностями и х. ф. ............ 161
§3. Теорема непрерывности (сходимости) ........................ 163
§4. Применение характеристических функций для доказательства
теоремы Пуассона .......................................... 164
§5. Характеристические функции многомерных распределений.
Многомерное нормальное распределение ...................... 167
§6. Другие применения х. ф. Свойства гамма-распределения ...... 170
6.1 Свойство устойчивости распределений Фα,σ2, Kα,σ ........ 170
6.2 Г-распределение и его свойства ....................... 171
§7. Производящие функции. Применение к изучению ветвящегося
процесса. Задача о вырождении ............................. 174
7.1 Производящие функции ................................. 174
7.2 Простейшие ветвящиеся процессы ....................... 175
Глава 8. Последовательности независимых случайных величин.
Предельные теоремы ............................................ 179
§1. Закон больших чисел ....................................... 179
§2. Центральная предельная теорема для одинаково
распределенных случайных величин .......................... 180
§3. Закон больших чисел для произвольных независимых
случайных величин ......................................... 181
§4. Центральная предельная теорема для сумм произвольных
независимых случайных величин ............................. 190
§5*.Другой подход к доказательству предельных теорем. Оценки
погрешности ............................................... 198
§6. Закон больших чисел и центральная предельная теорема в
многомерном случае ........................................ 202
§7. Интегро-локальные и локальные предельные теоремы для
сумм одинаково распределенных случайных величин с
конечной дисперсией ....................................... 204
7.1 Интегро-локальные теоремы ............................ 205
7.2 Локальные теоремы .................................... 207
7.3 Доказательство теоремы 7.1 в общем случае ............ 210
7.4 Равномерные версии теорем 7.1-7.3 для случайных
величин, зависящих от параметра ...................... 212
§8. Сходимость к другим предельным законам .................... 214
8.1 Интегральная теорема ................................. 217
8.2 Интегро-локальные и локальные теоремы ................ 220
8.3 Пример ............................................... 222
Глава 9. Вероятности больших уклонений сумм независимых
случайных величин ............................................. 224
§1. Преобразования Лапласа и Крамера. Функция уклонений ....... 225
1.1 Условие Крамера. Преобразования Лапласа и Крамера .... 225
1.2 Функция уклонений .................................... 227
§2. Связь вероятностей больших уклонений для сумм случайных
величин и для сумм преобразований Крамера над ними.
Вероятностный смысл функции уклонений ..................... 233
2.1 Связь вероятностей больших уклонений для сумм
случайных величин и для сумм преобразований Крамера
над ними ............................................. 233
2.2 Вероятностный смысл функции уклонений ................ 234
2.3 Принцип больших уклонений ............................ 236
§3. Интегро-локальные, интегральные и локальные теоремы
о вероятностях больших уклонений в крамеровской области ... 238
3.1 Интегро-локальные и интегральные теоремы ............. 238
3.2 Локальные теоремы .................................... 242
§4. Интегро-локальные теоремы на границе крамеровской
области ................................................... 245
4.1 Введение ............................................. 245
4.2 Вероятности больших уклонений Sn, расположенных
в о(n)-окрестности точки α+n; случай Ψ"(λ+) < ∞ ...... 245
4.3 Класс распределений   . Вероятность больших
уклонений Sn в о(n)-окрестности точки α+n для
распределений F из класса в случае Ψ"(λ+) = ∞ .... 246
4.4 О вероятностях больших уклонений в области α > α+
для распределений из класса ...................... 249
§5. Интегральные и интегро-локальные теоремы о вероятностях
больших уклонений сумм Sn, когда условие Крамера не
выполнено ................................................. 250
5.1 Интегральные теоремы ................................. 250
5.2 Интегро-локальные теоремы ............................ 251
§6. Интегро-локальные теоремы о вероятностях больших
уклонений Sn вне крамеровской зоны (при выполненном
условии Крамера) .......................................... 254
Глава 10. Процессы восстановления ............................. 256
§1. Процессы восстановления, функции восстановления ........... 256
1.1 Введение ............................................. 256
1.2 Интегральная теорема восстановления для
разнораспределенных слагаемых ........................ 258
§2. Основная теорема восстановления в арифметическом случае ... 263
§3. Эксцесс и дефект случайного блуждания. Предельное
распределение в арифметическом случае ..................... 268
§4. Теорема восстановления и предельное распределение
эксцесса и дефекта в неарифметическом случае .............. 270
§5. Закон больших чисел и центральная предельная теорема
для процесса восстановления ............................... 276
5.1 Закон больших чисел .................................. 276
5.2 Центральная предельная теорема ....................... 276
5.3 Теорема о конечности нижней грани последовательных
сумм ................................................. 278
5.4 Стохастические неравенства. Закон больших чисел и
центральная предельная теорема для максимума сумм
разнозначных разнораспределенных случайных величин ... 279
5.1 Распространение теорем 5.1, 5.2 на разнозначные
случайные величины ................................... 282
5.6 Локальная предельная теорема ......................... 283
§6. Обобщенные процессы восстановления ........................ 284
6.1 Определение и некоторые свойства ..................... 284
6.2 Центральная предельная теорема ....................... 285
6.3 Интегро-локальная теорема ............................ 288
Глава 11. Свойства траекторий случайных блужданий. Законы
нуля и единицы ................................................ 290
§1. Законы нуля и единицы. Верхние и нижние функции ........... 290
1.1 Законы нуля и единицы ................................ 290
1.2 Верхняя и нижняя функции ............................. 293
§2. Сходимость рядов независимых случайных величин ............ 294
§3. Усиленный закон больших чисел ............................. 297
§4. Усиленный закон больших чисел для произвольных
независимых слагаемых ..................................... 300
§5. Усиленный закон больших чисел для обобщенных процессов
восстановления ............................................ 304
5.1 Усиленный закон больших чисел для процессов
восстановления ....................................... 304
5.2 Усиленный закон больших чисел для обобщенных
процессов восстановления ............................. 305
Глава 12. Случайные блуждания и факторизационные тождества .... 306
§I. Факторизационные тождества ................................ 306
1.1 Факторизация ......................................... 306
1.2 Каноническая факторизация функции ƒz(λ) =
1 - zφ(λ) ............................................ 307
1.3 Второе факторизационное тождество .................... 308
§2. Некоторые следствия теорем 1.1-1.3 ........................ 312
2.1 Прямые следствия ..................................... 312
2.2 Обобщение усиленного закона больших чисел ............ 315
§3. Тождество Поллачека-Спитцера. Тождество для величины
 .................................................. 316
3.1 Тождество Поллачека-Спитцера ......................... 317
3.2 Тождество для величин ........................ 318
§4. Распределение S в задачах страхования и систем
обслуживания .............................................. 320
4.1 Случайные блуждания, возникающие в задачах
страхования .......................................... 320
4.2 Системы обслуживания ................................. 320
4.3 Стохастические модели с непрерывным временем ......... 322
§5. Случаи, когда компоненты факторизации могут быть найдены
в явном виде. Нерешетчатый случай ......................... 322
5.1 Предварительные замечания о единственности
факторизации ......................................... 323
5.2 Классы распределений на положительной полуоси,
имеющие рациональные х. ф. ........................... 325
5.3 Явная каноническая факторизация функции ϭ(γ) в
случае, когда правый хвост распределения F есть
экспоненциальный полином ............................. 326
5.3 Явная факторизация функции  (λ), когда левый хвост
распределения F есть экспоненциальный полином ........ 332
5.5 Явная каноническая факторизация функции 0(λ) ........ 333
§6. Факторизация в явном виде в арифметическом случае ......... 335
6.1 Предварительные замечания о единственности
факторизации ......................................... 335
6.2 Классы распределений на положительной полуоси,
имеющие рациональные производящие функции ............ 337
6.3 Явная каноническая факторизация функции (z) в
случае, когда правый хвост распределения F является
экспоненциальным полиномом ........................... 338
6.4 Явная каноническая факторизация функции (z),
когда левый хвост распределения F является
экспоненциальным полиномом ........................... 340
6.5 Явная факторизация функции 0(z) ..................... 341
§7. Асимптотические свойства распределений χ±, S .............. 343
7.1 Асимптотика Р(χ+ > x|η+ < ∞), Р(χ-0 < -х)
в случае Еξ ≤ 0 ...................................... 343
7.2 Асимптотика Р(S > х) ................................. 346
7.3 Распределение максимальных значений обобщенных
процессов восстановления ............................. 350
§8. О распределении времен первого прохождения ................ 350
8.1 Свойства распределений времен η± ..................... 350
8.2 Распределение времени первого прохождения
произвольного уровня х для арифметических
блужданий, непрерывных сверху ........................ 353
Глава 13. Последовательности зависимых испытаний. Цепи
Маркова ....................................................... 357
§1. Счетные цепи Маркова. Определения и примеры.
Классификация состояний ................................... 357
1.1 Определения и примеры ................................ 357
1.2 Классификация состояний .............................. 359
§2. Необходимые и достаточные условия возвратности
состояний. Теорема об однотипности состояний
неразложимой цепи, структура цепи в периодическом случае .. 361
§3. Теоремы о случайных блужданиях на решетке ................. 365
3.1 Случайное блуждание по целым точкам на прямой ........ 365
3.2 Симметричные случайные блуждания в  k, k ≥ 2 ......... 366
3.3 Произвольное симметричное случайное блуждание на
прямой ............................................... 367
§4. Предельные теоремы для счетных однородных цепей ........... 369
4.1 Эргодические теоремы ................................. 369
4.2 Закон больших чисел и центральная предельная
теорема для числа попаданий в заданное состояние ..... 377
§5*.Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей .... 377
§6. Цепи Маркова с произвольным множеством состояний.
Эргодичность цепей, имеющих положительный атом ............ 379
6.1 Цепи Маркова с произвольным множеством состояний ..... 379
6.2 Цепи Маркова, имеющие положительный атом ............. 384
§7*.Эргодичность харрисовых цепей Маркова ..................... 386
7.1 Эргодическая теорема ................................. 386
7.2 Об условиях (I), (II) ................................ 391
§8. Законы больших чисел и центральная предельная теорема
для сумм случайных величин, заданных на цепи Маркова ...... 398
8.1 Случайные величины на цепи Маркова ................... 398
8.2 Законы больших чисел ................................. 399
8.3 Центральная предельная теорема ....................... 403
Глава 14. Информация и энтропия ............................... 407
§1. Определения, свойства информации и энтропии ............... 407
§2. Энтропия конечной цепи Маркова. Теорема об
асимптотическом поведении информации длинного сообщения,
ее приложения ............................................. 411
2.1 Энтропия последовательности испытаний, связанных в
стационарную цепь Маркова ............................ 411
2.2 Закон больших чисел для количества информации,
содержащейся в сообщении ............................. 412
2.3 Асимптотическое поведение числа наиболее вероятных
исходов в последовательности испытаний ............... 413
Глава 15. Мартингалы .......................................... 416
§1. Определения, простейшие свойства, примеры ................. 416
§2. О сохранении свойства быть мартингалом при замене
времени на случайное. Тождество Вальда .................... 420
§3. Неравенства ............................................... 434
3.1 Неравенства для мартингалов .......................... 434
3.2 Неравенство для числа пересечений полосы ............. 437
§4. Теоремы сходимости ........................................ 439
§5. Ограниченность моментов стохастических
последовательностей ....................................... 443
Глава 16. Стационарные (в узком смысле) последовательности .... 448
§1. Основные понятия .......................................... 448
§2. Свойства эргодичности (метрической транзитивности),
перемешивания и слабой зависимости ........................ 452
§3. Эргодическая теорема ...................................... 456
Глава 17. Стохастически рекурсивные последовательности ........ 460
§1. Основные понятия .......................................... 460
§2. Эргодичность при наличии обновляющих событий. Условия
ограниченности ............................................ 461
2.1 Эргодичность с. р. п. ................................ 461
2.2 Ограниченность случайных последовательностей ......... 466
§3. Условия эргодичности, связанные с монотонностью ........... 468
§4. Условия эргодичности для сжимающих в среднем
преобразований, удовлетворяющих условию Липшица ........... 470
Глава 18. Случайные процессы с непрерывным временем ........... 477
§1. Общие определения ......................................... 477
§2. Условия регулярности процессов ............................ 481
Глава 19. Процессы с независимыми приращениями ................ 487
§1. Общие свойства ............................................ 487
§2. Винеровские процессы, свойства траекторий и времени
первого прохождения уровня ................................ 490
§3. Законы повторного логарифма ............................... 492
§4. Пуассоновские процессы .................................... 496
§5. Описание распределений всего класса процессов с
независимыми приращениями ................................. 499
Глава 20. Функциональные предельные теоремы ................... 504
§1. Сходимость к винеровскому процессу (принцип
инвариантности) ........................................... 504
§2. Закон повторного логарифма ................................ 512
§3. Сходимость к пуассоновскому процессу ...................... 516
3.1 Сходимость процессов накопленных сумм ................ 516
3.2 Сходимость сумм редеющих процессов восстановления .... 519
Глава 21. Марковские процессы и некоторые их обобщения ........ 521
§1. Определения и общие свойства марковских процессов ......... 521
1.1 Определения и общие свойства ......................... 521
1.2 Переходная вероятность ............................... 523
§2. Марковские процессы со счетным множеством состояний.
Примеры ................................................... 524
2.1 Основные свойства процесса ........................... 524
2.2 Примеры .............................................. 530
§3. Ветвящиеся процессы ....................................... 531
§4. Полумарковские процессы ................................... 533
4.1 Полумарковские процессы на состояниях цепи ........... 533
4.2 Эргодическая теорема ................................. 534
4.3 Полумарковские процессы на переходах цепи ............ 537
§5. Регенерирующие процессы ................................... 539
5.1 Регенерирующие процессы. Эргодическая теорема ........ 539
5.2 Законы больших чисел и центральная предельная
теорема для интегралов от регенерирующих процессов ... 540
§6. Диффузионные процессы ..................................... 543
Глава 22. Процессы с конечными моментами второго порядка,
гауссовские процессы .......................................... 549
§1. Процессы с конечными моментами второго порядка ............ 549
§2. Гауссовские процессы ...................................... 552
§3. Задача о прогнозе ......................................... 554
Приложение 1. Теорема о продолжении вероятностной меры ........ 556
Приложение 2. Теорема Колмогорова о согласованных
распределениях ............................................ 561
Приложение 3. Элементы теории меры и интеграла ................ 564
§1. Пространство с мерой ...................................... 564
§2. Интеграл по вероятностной мере ............................ 565
2.1 Интегралы от простых функций ......................... 565
2.2 Определение интегралов от произвольных функций ....... 566
2.3 Свойства интегралов .................................. 568
§3. Дальнейшие свойства интегралов ............................ 569
3.1 Теоремы сходимости ................................... 569
3.2 Связь с интегрированием по мере на прямой ............ 570
3.3 Произведения мер и повторные интегралы ............... 571
§4. Интеграл по произвольной мере ............................. 574
§5. Теорема Лебега о разложении и теорема Радона-Никодима ..... 577
§6. Слабая сходимость и сходимость по вариации распределений
в произвольных пространствах .............................. 582
6.1 Слабая сходимость .................................... 582
6.2 Сходимость по вариации ............................... 585
Приложение 4. Теоремы Хелли и Арцела-Асколи ................... 588
Приложение 5. Доказательство теоремы Берри-Эссена ............. 591
Приложение 6. Основные свойства правильно меняющихся функций
и субэкспоненциальных распределений ....................... 595
§1. Общие свойства правильно меняющихся функций ............... 595
§2. Основные асимптотические свойства ......................... 598
§3. Асимптотические свойства преобразований над п. м. ф.
(теоремы абелева типа) .................................... 602
§4. Субэкспоненциальные распределения и их свойства ........... 604
Приложение 7. Доказательство теорем о сходимости к
устойчивым законам ........................................ 614
§1. Интегральная теорема ...................................... 614
§2. Интегро-локальные и локальные теоремы ..................... 625
Приложение 8. Оценки сверху и снизу для распределений сумм
и максимума сумм независимых случайных величин ............ 627
§1. Оценки сверху при выполнении условия Крамера .............. 627
§2. Оценки сверху при невыполнении условия Крамера ............ 628
§3. Оценки снизу .............................................. 636
Приложение 9. Теоремы восстановления .......................... 638
Литература .................................................... 645
Список основных обозначений ................................... 647
Предметный указатель .......................................... 649
|
Книга охватывает широкий круг вопросов, начиная с оснований теории вероятностей и заканчивая основными элементами теории случайных процессов. Сюда входят: достаточно полный аппарат современной теории вероятностей; разного рода предельные законы для сумм независимых случайных величин; теоремы о поведении траекторий, порожденных этими суммами, включая относящиеся сюда так называемые факторизационные тождества; теория больших уклонений; элементы теории восстановления и различные ее приложения; цепи Маркова и эргодические теоремы для них; элементы теории информации; теория мартингалов и стохастически рекурсивных последовательностей; основы теории случайных процессов; теоремы об основных свойствах винеровских и пуассоновских процессов; функциональные предельные теоремы; элементы теории марковских, стационарных и гауссовских процессов и др.
Для студентов и аспирантов университетов и вузов, а также для специалистов, желающих изучать теорию вероятностей самостоятельно.
|
 |
 | Боровков А. Теория вероятностей: учеб. пособие для вузов. -
Изд. 5-е, перераб. и доп. - М.: URSS, 2009. - 652 с.: граф. - Предм. указ.: с.649-652. - Библиогр.: с.645-646. |
|
|
|
