Введение ........................................................ 9 Глава 1. Предварительные сведения .............................. 23 §1. Правильно меняющиеся функции и их основные свойства ........ 23 1.1. Общие свойства 1.2. Основные асимптотические свойства 1.3. Асимптотические свойства преобразований над п.м.ф. (теоремы абелева типа) 1.4. Свойство субэкспоненциальности §2 Субэкспоненциальные распределения .......................... 35 2.1. Основные свойства субэкспоненциальных распределений 2.2. Достаточные условия для субэкспоненциальности 2.3. Дальнейшие достаточные условия принадлежности распределений классу S. Связь с классом семиэкспоненциальных распределений §3 Локально-субэкспоненциальные распределения ................. 66 3.1. Арифметические распределения 3.2. Нерешетчатые локально-субэкспоненциальные распределения §4 Асимптотические свойства "функций от распределений" ........ 74 §5 О сходимости распределений сумм случайных величин с правильно меняющимися хвостами распределений к устойчивым законам .................................................... 80 §6 Функциональные предельные теоремы .......................... 98 6.1. Предварительные замечания 6.2. Принцип инвариантности 6.3. Функциональная предельная теорема о сходимости к устойчивым законам 6.4. Закон повторного логарифма Глава 2. Случайные блуждания со скачками, не имеющими первого момента ....................................................... 103 §1 Введение. Об основном подходе к оцениванию сверху хвостов распределений максимумов сумм случайных величин ... 103 1.1. Введение 1.2. Основной подход к оцениванию сверху распределений Sn §2 Оценки сверху для распределения максимума сумм в случае α ≤ 1, когда левый хвост произволен ....................... 107 §3 Оценки сверху для распределения сумм св., когда левый хвост доминирует правый ................................... 114 §4 Оценки сверху для распределения максимума сумм в случае, когда левый хвост значительно "тяжелее" правого ........... 120 §5 Оценки снизу для распределения сумм. Критерии конечности максимума сумм ............................................ 127 5.1. Оценки снизу 5.2. Критерий конечности супремума сумм §6 Асимптотика вероятностей Р(Sn ≥ х) ........................ 133 §7 Асимптотика вероятностей Р(Sn ≥ х) ........................ 143 Глава 3. Случайные блуждания со скачками, имеющими конечное среднее и бесконечную дисперсию ............................... 150 §1 Оценки сверху для распределения Sn ........................ 150 §2 Оценки сверху для распределения Sn(α), α > 0 .............. 161 §3 Оценки снизу для распределений Sn ......................... 165 §4 Асимптотика Р(Sn ≥ х) и ее уточнения ...................... 166 §5 Асимптотика Р(Sn ≥ x) и ее уточнения ...................... 173 §6 Асимптотика Р(S(α) ≥ х) с уточнениями и общая граничная задача .................................................... 178 §7 Интегро-локальные теоремы о больших уклонениях Sn для показателя -α, α (0,2) .................................. 190 §8 Равномерная относительная сходимость к устойчивому закону .................................................... 197 §9 Аналоги закона повторного логарифма в случае Еξ = ∞ ....... 200 Глава 4. Случайные блуждания со скачками, имеющими конечную дисперсию ..................................................... 206 §1 Оценки сверху для распределений Sn ........................ 206 §2 Оценки сверху для распределения Sn(α), α > 0 .............. 216 §3 Оценки снизу для распределений Sn и Sn(α) ................. 218 §4 Асимптотика Р(Sn ≥ х) и ее уточнения ...................... 221 §5 Асимптотика Р(Sn ≥ х) и ее уточнения ...................... 228 §6 Асимптотика P(Sn(α) ≥ х) и ее уточнения. Общая граничная задача .................................................... 233 6.1. Асимптотика P(Sn(α) ≥ х) 6.2. Общая граничная задача §7 Интегро-локальные теоремы о больших уклонениях Sn ......... 242 7.1. Интегро-локальные теоремы о больших уклонениях Sn 7.2. Интегро-локальные теоремы, действующие на всей оси §8 Распространение результатов об асимптотике Р(Sn ≥ х) и P(Sn ≥ х) на более широкие классы распределений слагаемых ................................................. 248 §9 Распределение траектории {Sk} при условиях Sn ≥ х или Sn ≥ х .................................................... 253 Глава 5. Случайные блуждания с семиакспоненциальными распределениями скачков ....................................... 257 §1 Введение .................................................. 257 §2 Оценки для распределений Sn и Sn и их следствия ........... 261 2.1. Оценки сверху для P(Sn ≥ х) 2.2. Оценки снизу для P(Sn ≥ х) §3 Оценки для распределения Sn(а) ............................ 271 §4 Большие уклонения сумм Sn ................................. 274 4.1. Предварительные рассмотрения. 4.2. Предельные теоремы для больших уклонений Sn §5 Большие уклонения максимумов Sn ........................... 292 §6 Большие уклонения для Sn(α) при α > 0 ..................... 298 §7 Большие уклонения Sn(-α) при α > 0 ........................ 311 §8 Интегро-локальные и интегральные теоремы, действующие на всей оси .................................................. 314 §9 Зоны аддитивности (субэкспоненциальности) для разных классов распределений ..................................... 320 Глава 6. Большие уклонения на границе и вне крамеровской зоны для случайных блужданий с экспоненциально убывающими распределениями скачков ....................................... 323 §1 Введение. Основной метод изучения больших уклонений в случае, когда выполнено условие Крамера. Границы применимости .............................................. 323 §2 Интегро-локальные теоремы для сумм Sn слагаемых с распределениями из класса и показателями функции V(t) из интервала (-1,-3) ................................. 331 2.1. Большие уклонения на границе крамеровской области в случае α (1,2) 2.2. Большие и сверхбольшие уклонения вне крамеровской зоны в случае α (0,2) 2.3. Сверхбольшие уклонения в случае α (0,1) §3. Интегро-локальные теоремы для сумм Sn, когда преобразование Крамера для слагаемых имеет в правой граничной точке конечную дисперсию ........................ 338 3.1. Большие уклонения на границе крамеровской зоны 3.2. Большие уклонения вне крамеровской зоны §4 Распределение траектории при условии Sn Δ[x) ............ 341 §5 Асимптотика вероятности пересечения случайным блужданием удаленной границы ......................................... 342 5.1. Введение 5.2. Границы при условии [А0] 5.3. Границы при условии [Аn] 5.4. Границы при условии [Аm] 5.5. Границы при условии [А0,n] Глава 7. Асимптотические свойства функций от правильно меняющихся и семиэкспоненциальных распределений. Асимптотика распределений остановленных сумм и их максимумов. Альтернативный подход к изучению асимптотики P(S ≥ х) ......... 358 §1 Функции от правильно меняющихся распределений ............. 359 §2 Функции от семиэкспоненциальных распределений ............. 365 §3 Функции от распределений, интерпретированные как распределения остановленных сумм. Асимптотики для максимумов остановленных сумм ............................. 368 §4 Суммы, остановленные в произвольный марковский момент ..... 370 4.1. Асимптотика P(Sτ ≥ х) 4.2. Об асимптотике P(Sτ ≥ х) §5 Альтернативный подход к изучению асимптотики P(S ≥ х) для субэкспоненциальных распределений слагаемых ........... 377 5.1. Интегральная теорема об асимптотике P(S ≥ х) первого порядка. _ 5.2. Интегро-локальная теорема об асимптотике Р(S ≥ х) 5.3. Уточнение интегральной теоремы для максимума сумм §6 Пуассоновское представление для супремума S и времени его достижения ............................................ 390 Глава 8. Об асимптотике распределений времен первого прохождения ................................................... 392 §1 Введение .................................................. 392 §2 Фиксированный уровень х ................................... 393 2.1. Случай А-, х = 0. Вводная часть 2.2. Случай Eξ < 0, х = 0, когда F принадлежит классам , e или их расширениям 2.3. Случай α = Eξ < 0, распределение ξ из класса С 2.4. Случай А0, x = 0 2.5. Фиксированный уровень х > 0 §3 Растущий уровень х ........................................ 414 3.1. Класс хвостов С 3.2. Класс распределений s 3.3. Асимптотика Р(η + (x) > n) при выполнении условий х → ∞, α > 0, [=, •], W Глава 9. Интегро-локальные и интегральные теоремы о больших уклонениях сумм случайных векторов ............................ 421 §1 Введение .................................................. 421 §2 Интегро-локальные теоремы о больших уклонениях сумм независимых векторов с правильно меняющимися распределениями ........................................... 425 2.1 Случай, когда основной вклад в вероятность достижения куба Δ[x) принадлежит траекториям, содержащим один большой скачок 2.2 Случай, когда основной вклад в вероятность достижения куба Δ[x) принадлежит "зигзагообоазным" траекториям, содержащим несколько скачков §3 Интегральные теоремы ...................................... 435 3.1. Интегральные теоремы через интегро-локальные 3.2. Прямой подход к интегральным теоремам Глава 10. Большие уклонения в пространстве траекторий ......... 440 §1 Введение .................................................. 440 §2 Односторонние большие уклонения в пространстве траекторий ................................................ 441 §3 Общий случай .............................................. 445 Глава 11. Большие уклонения сумм случайных величин двух типов ......................................................... 450 §1 О постановке задачи для сумм случайных величин двух типов ..................................................... 450 §2 Асимптотика Р(m,n,х), связанная с классом правильно меняющихся распределений .................................. 452 §3 Асимптотика Р(m,n,х), связанная с семиэкспоненциальными распределениями ........................................... 455 Глава 12. Случайные блуждания с разнораспределенными скачками в схеме серий в случае бесконечного второго момента. Переходные явления ............................................ 462 §1 Оценки сверху и снизу для распределений Sn и Sn ........... 462 1.1. Обобщение леммы 2.1.1 и основного неравенства (2.1.8) 1.2. Оценки сверху для распределения максимумов сумм 1.3. Оценки снизу для распределения сумм Sn §2 Асимптотика вероятности пересечения произвольной удаленной границы ......................................... 477 §3 Асимптотика вероятности пересечения произвольной удаленной границы на неограниченном интервале времени. Оценки для времени первого прохождения .................... 479 §4 Сходимость случайных блужданий с разнораспределенными скачками в схеме серий к устойчивым процессам ............. 486 4.1 Теорема о сходимости к устойчивому закону 4.2 Сходимость к устойчивым процессам §5 Переходные явления ........................................ 494 5.1 Введение 5.2 Основные предельные теоремы 5.3. О явном виде предельных распределений Глава 13. Случайные блуждания с разнораспределенными скачками в схеме серий в случае конечных дисперсий ............ 505 §1 Оценки сверху и снизу для распределений Sn и Sn ........... 505 1.1. Оценки сверху для распределений Sn - Первая версия условий _ 1.2. Оценки сверху для распределений Sn - Вторая версия условий 1.3. Оценки снизу для распределений сумм Sn §2 Асимптотика вероятности пересечения произвольной удаленной границы ......................................... 518 §3 Принцип инвариантности. Переходные явления ................ 524 3.1. Принцип инвариантности 3.2. Переходные явления Глава 14. Случайные блуждания с зависимыми скачками ........... 529 §1 Классы случайных блужданий с зависимыми скачками, допускающих асимптотический анализ ........................ 529 §2 Мартингалы на счетных цепях Маркова. Основные результаты асимптотического анализа в случае, когда дисперсии скачков могут быть бесконечными ........................... 532 §3 Мартингалы на счетных цепях Маркова. Основные результаты асимптотического анализа в случае конечных дисперсий скачков ................................................... 536 §4 Произвольные случайные блуждания на счетных цепях Маркова ................................................... 539 4.1. Случай бесконечных дисперсий 4.2. Случай конечных дисперсий Глава 15. Распространение результатов глав 2-5 на случайные процессы с непрерывным временем и независимыми приращениями ... 544 §1 Введение .................................................. 544 §2 Первый подход, связанный с использованием близости траекторий процессов с дискретным и непрерывным временем .. 546 §3 Построение для процессов с независимыми приращениями полного аналога асимптотического анализа, изложенного в гл. 2-5 ................................................. 553 3.1. Оценки сверху 3.2. Оценка снизу 3.3. Асимптотический анализ в границных задачах Глава 16. Распространение результатов глав 3, 4 на обобщенные процессы восстановления ............................ 564 §1 Введение .................................................. 564 §2 Вероятности больших уклонений для S(T) и S(T) ............. 572 §3 Асимптотические разложения ................................ 596 §4 Пересечение произвольных границ ........................... 606 §5 Случай линейных границ .................................... 613 Библиографические замечания ................................... 623 Список обозначений ............................................ 632 Список литературы ............................................. 637 Краткий предметный указатель .................................. 651 Книга посвящена изучению асимптотического поведения вероятностей редких событий, связанных с большими уклонениями случайных блужданий, скачки которых имеют не слишком быстро (медленно) убывающие на бесконечности распределения. Вычисление асимптотики вероятностей больших уклонений позволяет находить малые вероятности ошибок в математической статистике, малые вероятности разорения в теории риска, малые вероятности переполнения буфера в теории очередей и т.д. Первые классические результаты в теории больших уклонений были получены для экспоненциально убывающих распределений. Однако во многих прикладных задачах условие быстрого (экспоненциального) убывания оказывается невыполненным. Так, например, «эмпирические хвосты» для величин страховых выплат, для размеров файлов, посылаемых через Интернет, а также и для других массивов данных убывают, как правило, степенным образом. С другой стороны, скажем, в задачах математической статистики часто адекватным существу дела оказывается предположение о быстром убывании распределений. Таким образом, представляет большой интерес оба альтернативных класса распределений: медленно убывающие и быстро убывающие. (Случайным блужданиям с быстро убывающими распределениями скачков будет посвящена отдельная книга - второй том настоящей монографии.) Книга является первой монографией, в которой изучение названного широкого круга задач ведется весьма полно и систематически. В ней заполнены многие существовавшие до сих пор пробелы. Рассчитана на математиков, физиков и других специалистов, а также аспирантов и студентов физико-математических специальностей. Боровков А.А. Асимптотический анализ случайных блужданий. Т.1. Медленно убывающие распределения скачков / А.А.Боровков, К.А.Боровков. - М.: Физматлит, 2008. - 650, [1] с.     А.А.Боровков | Указатель трудов Подготовили: И.Павлова, С.Канн, Н.Штырова