От редколлегии .................................................. iii Предисловие ...................................................... 1 Глава I. Основные понятия и простейшие свойства выпуклых многогранников .............................................. 7 § 1. Определение выпуклого многогранника ........................ 7 § 2. Задание многогранника плоскостями граней .................. 16 § 3. Задание замкнутого многогранника его вершинами ............ 21 § 4. Задание бесконечного многогранника вершинами и предельным углом .......................................... 26 § 5. Сферическое изображение ................................... 39 § 6. Развертка ................................................. 49 § 7. Топологические свойства многогранников и разверток ........ 57 § 8. Некоторые теоремы из внутренней геометрии разверток ....... 71 § 9. Обобщения ................................................. 81 Глава II. Метод и результаты .................................... 85 § 1. Лемма Коши ................................................ 85 § 2. Лемма об отображении ...................................... 91 § 3. Задание многогранника разверткой (Обзор результатов глав III, IV и V) ...................... 97 § 4. Многогранники с данными направлениями граней (Обзор результатов глав VI, VII и VIII) .................. 105 § 5. Многогранники с вершинами на данных лучах (Обзор результатов главы IX) ............................ 116 § 6. Теоремы жесткости (Обзор результатов глав X и XI) ........ 123 § 7. Переход от многогранников к кривым поверхностям .......... 135 § 8. Основные понятия топологии ............................... 139 § 9. Теорема об инвариантности области ........................ 145 Глава III. Единственность многогранника с данной разверткой .... 151 § 1. Несколько лемм о многогранных углах ...................... 151 § 2. Равенство двугранных углов при равенстве плоских углов ... 160 § 3. Единственность многогранника с данной разверткой ......... 165 § 4. Бесконечные многогранники с кривизной, меньшей 2π ........ 170 § 5. Многогранники, имеющие границу ........................... 179 § 6. Обобщения ................................................ 183 Глава IV. Существование многогранника с данной разверткой ...... 189 § 1. Многообразие разверток ................................... 189 § 2. Многообразие многогранников .............................. 198 § 3. Существование замкнутого выпуклого многогранника с данной разверткой ............................................... 207 § 4. Существование бесконечного выпуклого многогранника с данной разверткой ...................................... 209 § 5. Существование бесконечного многогранника с данной разверткой и данным предельным углом ..................... 214 Глава V. Склеивание и изгибание многогранников с границей ...... 225 § 1. Склеивание многогранников с границей ..................... 225 § 2. Изгибание выпуклых многогранников ........................ 243 § 3. Обобщения к главам IV и V ................................ 260 Глава VI. Условия равенства многогранников с параллельными гранями .................................................... 267 § 1. Леммы о выпуклых многоугольниках ......................... 267 § 2. О линейной комбинации многогранников ..................... 276 § 3. Условие равенства замкнутых многогранников ............... 283 § 4. Условия равенства бесконечных многогранников ............. 286 § 5. Другое доказательство и обобщение теоремы о бесконечных многогранниках. О многогранниках с границей .............. 291 § 6. Обобщения ................................................ 300 Глава VII. Теоремы существования для многогранников с данными направлениями граней ....................................... 306 § 1. Существование многогранника с данными площадями граней ... 306 § 2. Существование многогранника с данными площадями граней по Минковскому ........................................... 313 § 3. Существование бесконечного многогранника с данными площадями граней ................................................... 318 § 4. Общая теорема существования для бесконечного многогранника 324 § 5. Существование выпуклого многогранника с данными опорными числами .................................................. 329 § 6. Обобщения ................................................ 341 Глава VIII. Связь условия равенства многогранников с параллельными гранями с другими задачами ................. 346 § 1. Параллелоэдры ............................................ 346 § 2. Многогранник наименьшей площади при заданном объеме ...... 356 § 3. Смешанные объемы и неравенство Брунна .................... 363 Глава IX. Многогранники с вершинами на данных лучах ............ 376 § 1. Замкнутые многогранники .................................. 376 § 2. Бесконечные многогранники ................................ 388 § 3. Обобщения ................................................ 396 Глава X. Жесткость выпуклого многогранника со стационарной разверткой ................................................. 402 § 1. Деформации многогранного угла ............................ 403 § 2. Усиленная лемма Коши ..................................... 409 § 3. Стационарность двугранных углов многогранника при стационарности его плоских углов ..................... 414 § 4. Жесткость многогранников и равновесие стержневых систем .. 421 § 5. О деформациях разверток .................................. 424 § 6. Жесткость многогранника со стационарной разверткой ....... 429 § 7. Обобщения ................................................ 436 Глава XI. Условия жесткости многогранника с данными направлениями граней ....................................... 439 § 1. О деформациях многоугольников ............................ 439 § 2. Теоремы о жесткости многогранников ....................... 445 § 3. Связь теорем о жесткости друг с другом и с теорией смешанных объемов ........................................ 453 § 4. Обобщения ................................................ 459 Литература ..................................................... 463 Предметный указатель ........................................... 484