Предисловие .................................................... 5 Глава I. Основные понятия и результаты ......................... 9 § 1. Общее понятие о внутренней геометрии и ее задачах ...... 9 § 2. Гауссова внутренняя геометрия ......................... 16 § 3. Многогранная метрика .................................. 20 § 4. Развертка ............................................. 25 § 5. Переход от многогранников к любым поверхностям ........ 29 § 6. Многообразие с внутренней метрикой .................... 30 § 7. Основные понятия внутренней геометрии ................. 34 § 8. Кривизна .............................................. 39 § 9. Характерные свойства внутренней метрики выпуклых поверхностей ........................................... 43 § 10. Некоторые особенности внутренней геометрии выпуклых поверхностей ........................................... 51 § 11. Теоремы из внутренней геометрии выпуклых поверхностей 57 Глава II. Общие предложения о внутренней метрике .............. 60 § 1. Общие теоремы о спрямляемых кривых .................... 60 § 2. Общие теоремы о кратчайших ............................ 60 § 3, Условие неналегания кратчайших ........................ 72 § 4. Выпуклая окрестность .................................. 74 § 5. Общие свойства выпуклых областей ...................... 80 § 6. Триангуляция .......................................... 82 Глава III. Характерные свойства внутренней метрики выпуклых поверхностей ........................................... 89 § 1. Сходимость метрик сходящихся выпуклых поверхностей .... 89 § 2. Условие выпуклости для многогранной метрики ........... 95 § 3. Условие выпуклости для метрики выпуклой поверхности .. 104 § 4. Следствия условия выпуклости ......................... 108 Глава IV. Угол ............................................... 115 § 1. Общие теоремы о сложении углов ....................... 115 § 2. Теоремы о сложении углов на выпуклых поверхностях .... 121 § 3. Угол сектора, ограниченного кратчайшими .............. 123 § 4. О сходимости углов ................................... 128 § 5. Касательный конус .................................... 132 § 6. Пространственный смысл угла между кратчайшими ........ 138 Глава V. Кривизна ............................................ 147 § 1. Внутренняя кривизна .................................. 147 § 2. Площадь сферического изображения ..................... 153 § 3. Обобщение теоремы Гаусса ............................. 163 § 4. Кривизна борелевских множеств ........................ 169 § 5. Множество направлений, в которых нельзя провести кратчайшую ............................................ 174 § 6. Кривизна как мера неэвклидовости метрики поверхности . 176 Глава VI. Существование выпуклого многогранника с данной метрикой ............................................... 183 § 1. О задании метрики посредством развертки .............. 183 § 2. Идея доказательства теоремы реализуемости ............ 189 § 3. Малая деформация многогранника ....................... 194 § 4. Деформация выпуклого многогранного угла .............. 198 § 5. Теорема о жесткости .................................. 202 § 6. Реализуемость метрик, близких к реализованным ........ 205 § 7. Непрерывный переход от данной метрики к реализуемой... 208 § 8. Доказательство теоремы реализуемости ................ 215 Глава VII. Существование замкнутой выпуклой поверхности с данной метрикой .............................................. 216 § 1. Результат и метод доказательства ..................... 216 § 2. Основная лемма о выпуклых треугольниках .............. 221 § 3. Следствия основной леммы о выпуклых треугольниках .... 228 § 4. Полный угол вокруг точки ............................. 231 § 5. Кривизна и две связанные с нею оценки ................ 236 § 6. Приближение к метрике положительной кривизны многогранной метрикой .............................................. 240 § 7. Реализуемость метрики положительной кривизны, заданной на сфере ................................................. 246 Глава VIII. Другие теоремы существования ..................... 254 § 1. Теорема о склеивании ................................ 254 § 2. Применение теоремы о склеивании к теоремам реализуемости ......................................... 258 § 3. Реализуемость полной метрики положительной кривизны, заданной на плоскости ................................. 260 § 4. Многообразия, на которых можно задать метрику положительной кривизны ................................ 264 § 5. Вопрос о единственности выпуклой поверхности с данной метрикой .............................................. 270 § 6. Различные определения метрики положительной кривизны . 273 Глава IX. Кривые на выпуклых поверхностях .................... 276 § 1. Направление кривой ................................... 276 § 2. Поворот кривой ....................................... 282 § 3. Общая теорема о склеивании ........................... 289 § 4. Выпуклые области ..................................... 293 § 5. Квазигеодезические ................................... 298 § 6. Окружность ........................................... 304 Глава X. Площадь ............................................. 312 § 1. Внутреннее определение площади ....................... 312 § 2. Внешне геометрический смысл площади .................. 320 § 3. Экстремальные свойства пирамид и конусов ............. 325 Глава XI. Роль удельной кривизны ............................. 333 § 1. Внутренняя геометрия поверхности со всюду определенной гауссовой кривизной ................................... 333 § 2. Внутренняя геометрия поверхности с ограниченной удельной кривизной ............................................. 343 § 3. Форма выпуклой поверхности, в зависимости от ее кривизны .............................................. 353 Глава XII. Обобщения ......................................... 358 § 1. Выпуклые поверхности в пространствах постоянной кривизны .............................................. 358 § 2. Теоремы реализуемости в пространствах постоянной кривизны .............................................. 363 § 3. Поверхности знакопеременной кривизны ................ 367 Дополнение. Основные сведения о выпуклых телах ............... 372 § 1. Выпуклые области и кривые ............................ 372 § 2. Выпуклые тела. Опорная плоскость ..................... 374 § 3. Выпуклый конус ....................................... 376 § 4. Топологические типы выпуклых тел ..................... 377 § 5. Выпуклый многогранник и выпуклая оболочка ............ 380 § 6. О сходимости выпуклых поверхностей ................... 383 Предметный указатель ......................................... 387