А.Д.Александров родился 4 августа 1912 г. в деревне Волынь бывшей Рязанской губернии. Его родители были учителями средней школы. В 1929 г. он поступил на физический факультет Ленинградского университета, который окончил в 1933 г.

В 1935 г. Александр Данилович защитил кандидатскую, а в 1938 г. - докторскую диссертацию. В 1946 г. он был избран членом-корреспондентом, а в 1964 г. - действительным членом Академии наук СССР.

С 1952 по 1964 г. А.Д.Александров - ректор Ленинградского университета.

В 1964 г. Александр Данилович переехал в Новосибирск, где до 1986 г. возглавлял один из отделов Института математики Сибирского отделения Академии наук, который теперь носит имя своего основателя - С.Л.Соболева. В те же годы А.Д.Александров преподавал в Новосибирском государственном университете.

С апреля 1986 г. до конца жизни А.Д.Александров работал в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова.

Александр Данилович Александров скончался 27 июля 1999 г. в Санкт-Петербурге, где и похоронен на Богословском кладбище.

Существенно обогатил теорию смешанных объемов и внутреннюю геометрию выпуклых поверхностей. Стал пионером применения методов функционального анализа и теории уравнений с частными производными в этой проблематике, развил теорию меры на общих топологических пространствах. Данные результаты нашли применение в геометрии, теории вероятностей и включены в учебники функционального анализа. Решил классическую проблему Г.Вейля о пространственной реализации метрики положительной кривизны, заданной на сфере.

Предложил теорию двумерных многообразий ограниченной кривизны, или внутренней геометрии нерегулярных поверхностей, в связи с которой разработал метод разрезывания и склеивания, весьма эффективный в теории изгибания выпуклых поверхностей. Построил теорию метрических пространств с односторонними ограничениями на кривизну, которые стали рассматриваться как обобщение и развитие концепции риманова пространства и оказали большое влияние на современную геометрию.

Создал новое направление в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа - геометрическую теорию уравнений эллиптического типа.

Решение А.Д.Александровым вопроса о линейности отображений, сохраняющих конусы в пространстве специальной теории относительности, послужило толчком к исследованиям по хроногеометрии.

Автор сочинений по этике, философии и методологии математики. Совместно с А.Л.Вернером и В.И.Рыжиком подготовил полный комплект школьных учебников по геометрии, совместно с Н.Ю.Нецветаевым написал учебник геометрии для вузов. Создал отечественную научную школу по геометрии.

Находясь на посту ректора ЛГУ, способствовал развитию научной генетики, преподавание которой в ЛГУ началось в 1950-е годы, становлению социологии и математической экономики. За особый вклад в сохранение и развитие генетики и селекции А.Д.Александров, единственный математик среди группы биологов, награжден в 1990 г. орденом Трудового Красного Знамени.

Член Национального комитета советских математиков (1961), член экспертной комиссии по присуждению премий АН СССР им. Н.И.Лобачевского (1977).

Лауреат Сталинской премии II степени (1942), премии им. Н.И.Лобачевского АН СССР (1951). Удостоен золотой медали им. Л.Эйлера РАН (1991).

Награжден орденами Ленина (1961), Трудового Красного Знамени (1953, 1957, 1975, 1990), Дружбы народов (1982), Почета (1999).

Заслуженный деятель науки и техники РСФСР (1963). Депутат Верховного Совета РСФСР (1959-1963). Мастер спорта СССР по альпинизму. В Санкт-Петербургском университете установлен бюст А.Д.Александрова, в СО РАН учреждена премия им. А.Д.Александрова для молодых ученых.