Родился в Казани в семье учителя математики.

Учился в Казанском, продолжил учебу в Московском государственном университете (МГУ) (окончил в 1921), затем в аспирантуре Института математики и механики МГУ (1926). Преподавал в Московском высшем техническом училище (1921-1929), работал старшим инженером в Центральном аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ) им. Н.Е.Жуковского (1929-1934), заведующим отделом и заместителем директора в Математическом институте им. В.А.Стеклова АН СССР (1934-1945).

Ученые степени доктора технических (1934) и физико-математических (1935) наук присуждены без защиты диссертации.

Действительный член АН УССР (1939) и АН СССР (1946). Работал в Академии наук УССР (1939-1948): директор Института математики (1939-1941), заведующий Отделением математики (1941-1945), вице-президент АН УССР (1945-1948).

Основатель и директор Института точной механики и вычислительной техники им. С.А.Лебедева АН СССР (1949-1953). Заместитель главного конструктора Министерства среднего машиностроения СССР (1953-1955). Академик-секретарь Отделения физико-математических наук АН СССР (1950-1953, 1955-1957). Член Президиума АН СССР (1950-1980), вице-президент АН СССР (1957-1975).

Один из инициаторов и организаторов, первый председатель Сибирского отделения АН СССР (1957-1975), позднее - его почетный председатель. Основатель и первый директор Института гидродинамики СО АН СССР (1957-1976).

Один из организаторов вузов нового типа - Московского физико-технического института (МФТИ), Новосибирского государственного университета, физико-математической школы при НГУ, всесибирских школьных олимпиад. В разные периоды профессор Московского химико-технологического института им. Д.И.Менделеева, Киевского и Московского университетов, МФТИ, НГУ. В НГУ - основатель и первый заведующий кафедр математического анализа, гидродинамики.

М.А.Лаврентьев - выдающийся ученый, который создал новые направления в теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений, в механике сплошной среды (гидродинамическая теория кумуляции) и прикладной физике (физика взрыва и импульсных процессов).

М.А.Лаврентьевым решено большое количество задач, связанных как с полезным применением взрыва, так и с защитой от взрывов в воде и воздухе, создан ряд новых взрывных устройств, в частности - шнуровые заряды, нашедшие широкое применение при строительстве сооружений, ирригационных систем, тушении лесных пожаров.

М.А.Лаврентьев вместе с С.А.Лебедевым и М.В.Келдышем стояли у истоков создания отечественной вычислительной техники. Под его непосредственным руководством в Институте электротехники АН УССР создана первая советская цифровая электронная машина (МЭСМ), а в Институте точной механики и вычислительной техники АН СССР в Москве - первая крупная ЭЦВМ (БЭСМ-1), предшественница серии отечественных электронно-цифровых машин. По инициативе М.А.Лаврентьева развернулись работы по теории программирования.

В начале 1950-х годов по просьбе руководства ядерного центра (ВНИИЭФ) в г. Саров (тогда - Арзамас-75) назначен научным руководителем работ по созданию первого образца советского атомного артиллерийского снаряда. Успешное завершение этой работы отмечено Ленинской премией (1958).

В середине 1950-х годов академик М.А.Лаврентьев вместе с академиками С.Л.Соболевым и С.А.Христиановичем выступил инициатором создания крупнейшего регионального научного центра на востоке страны - Сибирского отделения Академии наук СССР (ныне СО РАН), первого отделения АН СССР, организованного по территориальному принципу. Концептуальной основой комплексного развития научных центров СО АН СССР стала его знаменитая формула «Наука - кадры - производство», так называемый «треугольник Лаврентьева». Заслуга М.А.Лаврентьева как руководителя Сибирского отделения - последовательное проведение в жизнь принципов комплексности и системности в создании научных центров. Благодаря его усилиям в Сибири создавались не только исследовательские институты, но и весь комплекс условий, необходимых для развития современной науки, быстрейшего внедрения ее результатов в народное хозяйство, подготовки кадров.

М.А.Лаврентьев вел большую научно-организационную работу как депутат Верховного Совета СССР (1958-1980), председатель Совета по науке при Совете Министров СССР (1963-1964), Научного совета по народно-хозяйственному использованию взрыва при Президиуме СО АН СССР (с 1961). Вице-президент Международного математического союза (1966-1970). Председатель Национального комитета СССР по теоретической и прикладной механике (1976-1980). Избран членом восьми зарубежных академий и ряда научных обществ.

Герой Социалистического Труда (1967). Лауреат Сталинской премии I степени (1946, 1949), Ленинской премии (1958). Удостоен золотой медали им. М.В.Ломоносова АН СССР, премии им. С.А.Лебедева АН УССР (1977). Награжден орденами Ленина (1953, 1956, 1960, 1967, 1975), Октябрьской Революции (1970), Трудового Красного Знамени (1945, 1948, 1953, 1954), Отечественной войны II степени (1944), Кирилла и Мефодия I степени (Болгария), Крестом Командора ордена Почетного легиона (Франция), многими медалями.

Учреждены: именная золотая медаль (с 1992 г. - премия им. М.А.Лаврентьева) РАН; премия им. М.А.Лаврентьева Академии наук Украины; премия им. М.А.Лаврентьева присуждается с 2000 г. Фондом им. М.А.Лаврентьева в Новосибирске по двум номинациям: «За выдающийся вклад в развитие исследований в области математики, механики и прикладной физики» и «За выдающиеся результаты, имеющие первостепенное значение для развития науки и образования и внесшие значительный вклад в экономическое, социальное и культурное развитие регионов Сибири и Дальнего Востока». Учреждены также премия молодым ученым СО РАН, премии и стипендии для студентов МГУ, НГУ, МФТИ. Проводятся конференции «Лаврентьевские чтения» в Новосибирске и Якутске.