Основные сведения из жизни А. В. Погорелова ..................... 3
Предисловие ..................................................... 7
Раздел I
ПЕРВЫЕ РАБОТЫ
1. Одна теорема о геодезических на замкнутой выпуклой
поверхности .................................................. 9
2. Квазигеодезические линии на выпуклой поверхности ............ 12
Раздел II
ОДНОЗНАЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Введение ....................................................... 47
§ 1. Основные результаты ....................................... 47
§ 2. Метод доказательства основных теорем ...................... 52
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
§ 1. Гладкие выпуклые поверхности .............................. 60
§ 2. Гладкие выпуклые поверхности ограниченной удельной
кривизны .................................................. 65
§ 3. Одно предложение для гладких двумерных многообразий ....... 70
ГЛАВА II. ИЗОМЕТРИЧНЫЕ ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Изометричные плоские пучки полупрямых ..................... 75
§ 2. Первая основная теорема для изометричных выпуклых
поверхностей .............................................. 80
§ 3. Вторая основная теорема для изометричных выпуклых
поверхностей .............................................. 87
ГЛАВА III. ОДНОЗНАЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЗАМКНУТЫХ
ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. Неизгибаемость замкнутых выпуклых поверхностей
ограниченной дельной кривизны ............................ 93
§ 2. Некоторые вспомогательные предложения для выпуклых
поверхностей .............................................. 98
§ 3. Однозначная определенность замкнутых выпуклых
поверхностей ограниченной удельной кривизны .............. 104
ГЛАВА IV. ОДНОЗНАЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ШАПОЧЕК В КЛАССЕ
ШАПОЧЕК. ОДНОЗНАЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ВЫПУКЛЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ИЗГИБАНИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ВЫПУКЛЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. Однозначная определенность шапочек ограниченной
удельной кривизны в классе шапочек ....................... 108
§ 2. Однозначная определенность бесконечных выпуклых
поверхностей с полной кривизной 2π ....................... 114
§ 3. Однозначная определенность бесконечных выпуклых
поверхностей с полной кривизной меньше π ................ 121
Раздел III
СТАТЬИ В ЖУРНАЛАХ СССР
1. Об устойчивости изолированных ребристых точек на
выпуклой поверхности при изгибании ........................ 134
2. Одно общее характеристическое свойство шара ............... 139
3. Новое доказательство неизгибаемости выпуклых
многогранников ............................................ 143
4. О единственности поверхности с заданными нормальными
кривизнами ................................................ 145
5. О преобразовании изометричных поверхностей ................ 147
6. Теория поверхностей и дифференциальные уравнения в
частных производных ....................................... 150
7. О правильном разбиении пространства Лобачевского .......... 169
8. Существование выпуклой гиперповерхности с данным
соотношением между функциями кривизны ..................... 173
9. Пример двумерной римановой метрики, не допускающей
локальной реализации в Е3 ................................. 176
10. Регулярность выпуклых гиперповерхностей с регулярной
метрикой .................................................. 179
11. Аналог проблемы Минковского для бесконечных полных
выпуклых гиперповерхностей ................................ 184
12. О средней кривизне бесконечной полной выпуклой
поверхности ............................................... 188
13. О минимальных гиперповерхностях в сферическом
пространстве .............................................. 190
14. Об устойчивости минимальных поверхностей .................. 192
15. Однозначная определенность аффинно-минимальных
гиперповерхностей ......................................... 195
16. Замкнутые выпуклые проективно-минимальные
гиперповерхности .......................................... 198
17. Полные аффинно-минимальные гиперповерхности ............... 199
18. Замкнутые выпуклые гиперповерхности с заданной
условной кривизной ........................................ 202
Раздел IV
МНОГОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА МИНКОВСКОГО
Предисловие ................................................... 212
Введение ...................................................... 212
§ 1. Выпуклые тела и гиперповерхности в Еn .................... 214
1. Основные понятия для выпуклых тел и
гиперповерхностей ..................................... 214
2. Регулярные выпуклые гиперповерхности .................. 216
3. Площадь и кривизна выпуклой гиперповерхности .......... 219
4. Смешение выпуклых тел ................................. 222
§ 2. Обобщенное решение проблемы Минковского .................. 223
1. Постановка проблемы. Единственность решения ........... 224
2. Существование выпуклого многогранника с данными
направлениями и площадями граней ...................... 226
3. Существование выпуклой гиперповерхности с данной
гауссовой кривизной ................................... 228
§ 3. Регулярное решение проблемы Минковского .................. 231
1. Априорные оценки радиусов нормальной кривизны
выпуклой гиперповерхности ............................. 231
2. Некоторые вспомогательные формулы ..................... 234
3. Априорная оценка третьих производных опорной функции
выпуклой гиперповерхности ............................. 237
4. Доказательство теоремы 1 .............................. 240
§ 4. Обобщение проблемы Минковского ........................... 243
1. Оценка главных радиусов кривизны выпуклой
гиперповерхности ...................................... 243
2. Оценка производных опорной функции выпуклой
гиперповерхности ...................................... 246
3. Существование выпуклой гиперповерхности с данной
функцией кривизны ..................................... 248
4. Общая оценка для радиусов нормальной кривизны ......... 251
§ 5. Многомерный аналог уравнения Монжа—Ампера ................ 254
1. Существование выпуклого многогранника с данными
площадями нормального изображения в вершинах .......... 254
2. Понятие обобщенного решения. Задача Дирихле ........... 256
3. Априорные оценки для регулярных решений ............... 259
4. Регулярность обобщенных решений ....................... 262
5. Пример обобщенного решения, не являющегося
регулярным ............................................ 265
6. Регулярное решение задачи Дирихле ..................... 268
§ 6. О несобственных выпуклых аффинных гиперсферах ............ 270
1. О расположении центра тяжести выпуклого тела .......... 271
2. Специальные сечения аффинных гиперсфер ................ 272
3. Некоторые соотношения размеров для аффинной
гиперсферы ............................................ 274
4. Априорные оценки для аффинных гиперсфер ............... 276
5. Доказательство основной теоремы для несобственных
выпуклых аффинных гиперсфер ........................... 278
Раздел V
МНОГОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ МОНЖА-АМПЕРА
Предисловие ................................................... 282
§ 1. Выпуклые тела и выпуклые гиперповерхности в n-мерном
эвклидовом пространстве .................................. 282
1. Основные понятия для выпуклых тел и выпуклых
гиперповерхностей ..................................... 282
2. Выпуклые многогранники ................................ 285
3. Площадь и кривизна выпуклой гиперповерхности .......... 286
§ 2. Выпуклые гиперповерхности с заданной условной
кривизной ................................................ 289
1. Условная кривизна выпуклой гиперповерхности ........... 289
2. Выпуклая многогранная гиперповерхность с заданными
условными кривизнами в вершинах ....................... 293
3. Общая выпуклая гиперповерхность с заданной условной
кривизной ............................................. 297
§ 3. Замкнутая выпуклая гиперповерхность с заданной условной
кривизной ................................................ 304
1. Замкнутая многогранная выпуклая гиперповерхность
с заданной условной кривизной в вершинах .............. 304
2. Общая замкнутая выпуклая гиперповерхность с
заданной условной кривизной ........................... 308
3. Теорема единственности для замкнутых выпуклых
гиперповерхностей ..................................... 310
§ 4. Обобщенное решение многомерного уравнения Монжа—Ампера ... 313
1. Задача Дирихле для обобщенных решений уравнения
Монжа—Ампера .......................................... 313
2. Принцип максимума для обобщенных решений уравнения
Монжа—Ампера .......................................... 319
3. Уравнение Монжа—Ампера, заданное на сфере ............. 327
§ 5. Априорные оценки решений уравнения Монжа—Ампера .......... 331
1. Оценка решения и его первых производных ............... 331
2. Априорные оценки для вторых производных регулярного
решения уравнения Монжа—Ампера ........................ 336
3. Априорные оценки для третьих производных регулярного
решения уравнения Монжа—Ампера ........................ 340
§ 6. Регулярность обобщенных решений уравнения Монжа—Ампера ... 343
1. Регулярная замкнутая выпуклая гиперповерхность
c заданной условной кривизной ......................... 343
2. Регулярность обобщенных решений уравнения
Монжа—Ампера .......................................... 346
3. Регулярное решение задачи Дирихле для уравнения
Монжа—Ампера .......................................... 352
Раздел VI
РАБОТЫ ПОСЛЕДНИХ ЛЕТ
1. Вложение «мыльного пузыря» внутрь тетраэдра ................ 355
2. Изгибание выпуклой поверхности в выпуклую поверхность
с заданным сферическим изображением ........................ 358
3. Об устойчивости минимальных поверхностей в пространстве
Лобачевского ............................................... 363
4. Об одной проблеме Стокера .................................. 368
Указатель трудов А. В. Погорелова ............................. 372
Примечания .................................................... 383
Приложение. Алексей Васильевич Погорелов — математик
удивительной силы (А.А. Борисенко) ............................ 386
|
