Карпук А.Высшая математика для технических университетов. Интегральное исчисление функций одной переменной. - Минск: Харвест, 2008. - 303 c. - ISBN 978-985-16-3975-1  Место хранения:   013 | Институт математики СО РАН | Новосибирск | Библиотека

Оглавление / Contents

Предисловие ..................................................... 3 Лекция 1. Определение и свойства неопределенного интеграла ..... 4 Первообразная и неопределенный интеграл и их свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интефирование. Интегрирование подстановкой (замена переменной интефирования). Интегрирование по частям. Задачи и упражнения. Лекция 2. Интегрирование рациональных функций ................. 17 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций в общем случае. Метод Остроградского. Задачи и упражнения. Лекция 3. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических выражений ................................... 26 Интегралы вида Интегрирование дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.Интегралы вида . Интегралы вида . Подстановки Эйлера. Интегралы вида . Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегралы вида Задачи и упражнения. Лекция 4. Определенный интеграл ............................... 44 Задачи, приводящие к определенному интегралу. Определение интеграла Римана. Интегральные суммы и их свойства. Классы интегрируемых по Риману функций. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Задачи и упражнения. Лекция 5. Методы вычисления определенных интегралов ........... 61 Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона—Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегралы от четных, нечетных и периодических функций. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Задачи и упражнения. Лекция 6. Приближенные методы вычисления определенных интегралов ..................................................... 77 Понятие численного интегрирования. Квадратурные формулы прямоугольников. Квадратурная формула трапеций. Квадратурная формула Симпсона. Задачи и упражнения. Лекция 7. Геометрические приложения определенных интегралов ... 92 Площадь плоской фигуры в прямоугольной декартовой системе координат. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом задании ее границы. Площадь плоской фигуры в полярной системе координат. Объем тела по известным площадям его параллельных сечений. Объем тела вращения. Вычисление длины дуги кривой в декартовой системе координат. Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат. Площадь поверхности вращения. Задачи и упражнения. Лекция 8. Физические приложения определенного интеграла ...... 134 Работа переменной силы. Давление жидкости на погруженную в нее вертикальную пластину. Масса неоднородного стержня и плоской кривой. Центр тяжести плоской кривой. Статические моменты плоской кривой. Первая теорема Гульдина. Моменты инерции плоской кривой. Статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской фигуры. Вторая теорема Гульдина. Задачи и упражнения. Лекция 9. Несобственные интегралы 1-го рода .................. 161 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Сходимость несобственных интегралов 1-го рода и ее геометрический смысл. Основные свойства несобственных интегралов 1-го рода: линейность, формула Ньютона — Лейбница, замена переменной интегрирования, интегрирование по частям, интегрирование неравенств. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций (признаки сравнения). Признак Коши. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов Признаки Дирихле и Абеля. Главное значение несобственного интеграла 1-го рода. Задачи и упражнения. Лекция 10. Несобственные интегралы 2-го рода .................. 184 Несобственные интегралы от неограниченных функций. Сходимость несобственных интегралов 2-го рода и ее геометрический смысл. Основные свойства несобственных интегралов 2-го рода: формула Ньютона—Лейбница, линейность, интегрирование неравенств, интегрирование по частям, замена переменной интегрирования. Признаки сравнения. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла 2-го рода. Задачи и упражнения. Лекция 11. Собственные интегралы, зависящие от параметра ...... 200 Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их непрерывность. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Правило Лейбница. Интегрирование собственных интегралов, зависящих от параметра. Задачи и упражнения. Лекция 12. Функциональные последовательности .................. 215 Функциональная последовательность и ее сходимость. Равномерная сходимость функциональных последовательностей: непрерывность предела, предельный переход под знаком интеграла и производной. Задачи и упражнения. Лекция 13. Несобственные интегралы, зависящие от параметра .... 227 Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра, и его равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Коши и Дирихле. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость по параметру несобственного интеграла, зависящего от параметра. Формула Фруллани. Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра, от неограниченной функции. Задачи и упражнения. Лекция 14. Интегралы Эйлера ................................... 244 Гамма-функция: определение, равномерная сходимость, свойства. Формула дополнения. Бета-функция: определение, свойства, связь с гамма-функцией. Применение интегралов Эйлера к вычислению определенных интегралов. Задачи и упражнения. Лекция 15. Асимптотическое интегрирование ..................... 256 Асимптотика одного несобственного интеграла, зависящего от параметра. Асимптотика интегралов , . Интеграл Френеля. Ассимптотическая формула Лапласа для интегралов вида . Формула Стерлинга. Асимптотика интегралов . Задачи и упражнения. Лекция 16. Элементы дифференциальной геометрии ................ 269 Дифференциал длины дуги кривой. Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой. Формулы Френе. Кручение кривой. Уравнения характеристик пространственной кривой: уравнения главной нормали, би- нормали, касательной; уравнения нормальной, соприкасаю- щейся и спрямляющей плоскостей сопровождающего трехгранника кривой. Задачи и упражнения. Литература .................................................... 295