Основные труды посвящены теории дифференциальных уравнений, теории упругости, нелинейным уравнениям с частными производными, функциональному анализу и вычислительной математике. Создал теорию обобщенных функций, ввел в рассмотрение пространства Соболева, получил теоремы вложения для этих пространств, решил ряд проблем теории приближенного интегрирования.

Окончил Ленинградский государственный университет (1929). Работал в Сейсмологическом институте АН СССР, Математическом институте им. В.А. Стеклова (в 1941 - 1946 гг. - директор этого института), Институте атомной энергии (в 1944 - 1957 гг. - заместитель директора института).

Один из организаторов Сибирского отделения АН СССР и Новосибирского государственного университета. С 1957 г. - директор Института математики СО АН СССР, с 1958 г. - член Президиума СО АН СССР. Член Бюро Отделения математики АН СССР (с 1971 г.), член Комитета по Ленинским и Государственным премиям. Председатель Редакционно-издательского совета СО АН СССР, Математической секции Объединенного ученого совета по физико-математическим и техническим наукам СО АН СССР. Главный редактор «Сибирского математического журнала» СО АН СССР, главный редактор журнала «Известия СО АН СССР» (1957 - 1972). Член Академии наук Института Франции, Национальной академии наук Деи Линчеи, Италия, Эдинбургского королевского общества, член-корреспондент Германской академии наук в г. Берлине (ГДР), почетный доктор многих иностранных университетов.

Герой Социалистического Труда (1951), лауреат Государственных премий СССР (1941, 1951, 1953). Награжден Золотой медалью им. Ломоносова, семью орденами Ленина, орденами Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени, «Знак Почета», медалями. Удостоен Золотой медали Чехословацкой академии наук.

Член Библиотечного совета при Президиуме СО АН СССР (1958 - 1973).