 | Скорпан А. Удивительный мир четырехмерных многообразий: пер. с англ. - М.: МЦНМО, 2016. - 646 с.
ШИФР ОТДЕЛЕНИЯ ГПНТБ СО РАН В18-С447
| |
Предисловие .................................................... 11
Введение ....................................................... 15
Предварительные сведения ....................................... 17
Часть I. Теория h-ковордизмов .................................. 35
Глава 1. Многообразия больших размерностей и теорема об
h-кобордизме ................................................... 37
§1.1. Формулировка теоремы ..................................... 37
Гипотезы Пуанкаре ........................................ 39
§1.2. Разложения на ручки ...................................... 42
Функции Морса ............................................ 42
Ручки .................................................... 44
Вычисление групп гомологии по разложению на ручки ........ 49
§1.3. Движения ручек ........................................... 50
Сокращение и создание ручек .............................. 50
Протаскивание ручки ...................................... 51
§1.4. Схема доказательства ..................................... 53
§1.5. Прием Уитни .............................................. 54
§1.6. Ручки малых и больших индексов; обмен ручек .............. 56
Дополнения к главе 1 ..................................... 64
Прием Уитни. Технические подробности ..................... 64
Диагонализация цепных комплексов и s-кобордизмы .......... 68
Библиография ............................................. 78
Глава 2. Топологические четырехмерные многообразия и
h-кобордизмы ................................................... 81
§2.1. Ручки Кассона ............................................ 82
Начало доказательства теоремы об /i-кобордизме ........... 82
Несколько полезных приемов ............................... 84
Построение ручек Кассона ................................. 87
Удивительный факт ........................................ 90
§2.2. Теорема о топологическом h-кобордизме .................... 92
§2.3. Гомологические трехмерные сферы ограничивают фальшивые
четырехмерные шары ....................................... 94
Гомологическая трехмерная сфера Пуанкаре и
Ј8-многообразие .......................................... 97
§2.4. Неверность теоремы об h-кобордизме для гладких
четырехмерных многообразий: скрученная пробка ........... 100
Дополнения к главе 2 .................................... 102
Исчисление Керби ........................................ 102
Вложение ручек Кассона .................................. 107
Е8-плюмбинг и экзотические сферы в больших
размерностях ............................................ 109
Трехмерные многообразия ................................. 113
Библиография ............................................ 115
Часть II. Гладкие четырехмерные многообразия и форма
пересечения ................................................... 117
Глава 3. Знакомство с формой пересечения ...................... 119
§3.1. Подготовка: представление классов гомологии
поверхностями ........................................... 120
§3.2. Форма пересечения ....................................... 122
Унимодулярность и двойственные классы ................... 124
Форма пересечения и связная сумма многообразий .......... 125
Инварианты формы пересечения ............................ 128
Сигнатура и четырехмерные многообразия, являющиеся
границами ............................................... 129
Простые примеры форм пересечения ........................ 132
§3.3. Важный пример: К3-поверхность ........................... 136
Конструкция Куммера ..................................... 136
Голоморфная конструкция ................................. 138
К3-поверхность как эллиптическое расслоение ............. 139
Дополнения к главе 3 .................................... 143
Двойственные комплексные расслоения и ориентации ........ 143
Об определении формы Е8 ................................. 147
Библиография ............................................ 148
Глава 4. Форма пересечения и топология ........................ 149
§4.1. Теорема Уайтхеда и гомотопический тип ................... 150
Доказательство, использующее теорию гомотопий ........... 151
Доказательство, основанное на конструкции Понтрягина -
Тома .................................................... 153
§4.2. Теоремы Уолла и h-кобордизмы ............................ 159
Стабилизация относительно суммы ......................... 159
Автоморфизмы формы пересечения .......................... 161
Формы пересечения и /г-кобордизмы ....................... 165
Доказательство теоремы Уолла об /i-кобордизме ........... 165
§4.3. Формы пересечения и характеристические классы ........... 171
Ориентации и первый класс Штифеля - Уитни ............... 172
Спинорные структуры и второй класс Штифеля - Уитни ...... 172
Третий класс Штифеля - Уитни ............................ 176
Класс Эйлера ............................................ 177
Сигнатура и класс Понтрягина ............................ 177
Характеризация касательного расслоения .................. 179
§4.4. Теорема Рохлина и характеристические элементы ........... 179
Характеристические элементы формы пересечения ........... 179
Теорема Рохлина ......................................... 182
Дополнения к главе 4 .................................... 185
Введение ................................................ 185
Структурная группа расслоения. Определение спинорной
структуры ............................................... 186
Эквивалентность двух определений спинорной структуры .... 194
Расслоения, коциклы и когомологии Чеха .................. 204
Теория препятствий ...................................... 213
Классифицирующие пространства и спинорные структуры ..... 221
Топологические многообразия и сглаживания ............... 226
Инвариант Рохлина для трехмерных многообразий ........... 245
Группы кобордизмов ...................................... 250
Конструкция Понтрягина - Тома ........................... 252
Библиография ............................................ 257
Глава 5. Классификация форм и их реализация многообразиями .... 259
§5.1. Алгебраическая классификация форм по Серру .............. 259
Знаконеопределенные формы ............................... 260
Знакоопределенные формы ................................. 261
§5.2. Топологическая классификация Фридмана ................... 261
§5.3. Нереализуемость форм гладкими многообразиями ............ 265
Знакоопределенные формы ................................. 265
Знаконеопределенные четные формы ........................ 268
§5.4. Экзотические пространства R4 ............................ 271
Простые примеры ......................................... 272
Экзотические пространства М4 в окружениях пробок ........ 275
Построение новых примеров экзотических пространств R4 ... 276
Дополнения к главе 5 .................................... 282
Реализация формы топологическим многообразием ........... 282
Классификация знаконеопределенных нечетных форм ......... 284
Доказательство леммы ван дер Блея ....................... 285
Оценка числа знакоопределенных форм ..................... 286
Библиография ............................................ 288
Часть III. Обзор теории комплексных поверхностей .............. 291
Глава 6. Краткий обзор комплексной геометрии .................. 293
§6.1. Поверхности ............................................. 293
§6.2. Кривые на поверхностях .................................. 295
§6.3. Линейные расслоения ..................................... 297
Дополнения к главе 6 .................................... 302
Численная эффективность как предел обильности ........... 302
Библиография ............................................ 302
Глава 7. Классификация Энриквеса - Кодаиры .................... 303
§7.1. Стягивания до достижения численной эффективности ........ 303
§7.2. Численная размерность ................................... 309
§7.3. Размерность Кодаиры ..................................... 311
§7.4. Кэлеров случай .......................................... 313
§7.5. Сравнение алгебро-геометрической классификации с
гладкой ................................................. 314
Дополнения к главе 7 .................................... 316
Библиография ............................................ 316
Глава 8. Эллиптические поверхности ............................ 317
§8.1. Рациональная эллиптическая поверхность .................. 317
§8.2. Связная сумма расслоений ................................ 322
§8.3. Логарифмическое преобразование .......................... 325
§8.4. Топологическая классификация ............................ 329
Дополнения к главе 8 .................................... 332
Разложимость ............................................ 332
Узлы, комплексные особенности и сферы ................... 332
Классификация особых слоев .............................. 334
Библиография ............................................ 336
Часть IV Калибровочная теория на четырехмерных многообразиях .. 339
Глава 9. Дифференциальная геометрия и инварианты Дональдсона .. 341
§9.1. Вступительные замечания ................................. 341
§9.2. Расслоения, связности, кривизны ......................... 343
Группы Ли ............................................... 343
Векторные расслоения .................................... 344
Параллельный перенос .................................... 346
Связности ............................................... 348
Кривизны ................................................ 357
§9.3. Специфика четырехмерного случая: автодуальность ......... 361
§9.4. Инварианты Дональдсона .................................. 363
Дополнения к главе 9 .................................... 367
Антиавтодуальные связности на линейных расслоениях ...... 367
Теория Дональдсона и комплексная геометрия .............. 376
Эквивалентность теорий Дональдсона и Зайберга -
Виттена ................................................. 382
Библиография ............................................ 384
Глава 10. Инварианты Зайберга - Виттена ....................... 385
§10.1.Почти комплексные структуры ............................. 385
J-голоморфные кривые .................................... 386
Существование почти комплексных структур ................ 387
Почти комплексные структуры, римановы метрики, 2-формы .. 388
Симплектические многообразия ............................ 390
§10.2.Определение spin -структур и спиноров ................... 392
Спинорные структуры: краткое напоминание ................ 393
spinc-структуры ......................................... 395
§10.3.Определение инвариантов Зайберга - Виттена .............. 407
Пространство модулей .................................... 407
Инвариант ............................................... 412
§10.4.Основные результаты и свойства .......................... 414
§10.5.Инварианты симплектических многообразий ................. 420
§10.6.Инварианты комплексных поверхностей ..................... 423
Дополнения к главе 10 ................................... 426
Введение ................................................ 426
Пучки Лефшеца и расслоения в смысле Лефшеца ............. 427
Существование почти комплексных структур ................ 432
Существование spinc-структур и их свойства .............. 435
Группа spinc-Ko6opДH3MOB и группа характеристических
кобордизмов ............................................. 440
Описание spinc-структур с помощью кватернионов .......... 445
Пространство модулей Зайберга - Виттена ................. 453
Доказательство теоремы Дональдсона с помощью теории
Зайберга - Виттена ...................................... 470
Уравнения Зайберга - Виттена на кэлеровых поверхностях .. 473
Уравнения Зайберга - Виттена на симплектических
многообразиях ........................................... 482
Инварианты Громова - Таубса для симплектических
четырехмерных многообразий .............................. 490
Метод Бохнера ........................................... 493
Библиография ............................................ 495
Глава 11. Минимальный род вложенных поверхностей .............. 499
§11.1.Теорема Кервера - Милнора ............................... 500
§11.2.Неравенство присоединения ............................... 504
Неравенство присоединения в случае положительного
индекса самопересечения ................................. 504
Гипотеза Тома ........................................... 506
Неравенство присоединения для простого типа ............. 507
§11.3.Отступление: трехмерные многообразия .................... 509
Сравнение с четырехмерными многообразиями ............... 512
Дополнения к главе 11 ................................... 514
Доказательство неравенства присоединения ................ 514
Арф-инвариант ........................................... 519
Обобщение Фридмана - Керби теоремы Рохлина .............. 520
Доказательство теорем Фридмана - Керби и Рохлина ........ 526
Еще одно доказательство теоремы Рохлина ................. 541
Библиография ............................................ 551
Глава 12. Перестройки Финтушела - Стерна ...................... 553
§12.1.Склейка многообразий и теория Зайберга - Виттена ........ 553
Предварительные сведения ................................ 553
Обобщенные связные суммы расслоений ..................... 556
Обобщенные логарифмические преобразования ............... 557
§12.2.Обзор: полином Александера для узла ..................... 561
§12.3.Перестройка по узлу ..................................... 563
§12.4.Приложения .............................................. 566
Дополнения к главе 12 ................................... 569
Рациональные стягивания ................................. 569
Библиография .................................................. 574
Эпилог ........................................................ 577
Литература .................................................... 579
Предметный указатель .......................................... 609
Список иллюстраций ............................................ 639
Список таблиц ................................................. 647
|
| Эта книга посвящена обширному разделу геометрии и топологии - теории четырехмерных многообразий, в которой важные результаты были получены на стыке алгебраической топологии, геометрической топологии, комплексной алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и глобального анализа.
Содержание книги охватывает как классические разделы: теорему об h-кобордизме, свойства формы пересечения, комплексные поверхности - так и более современные: классификация топологических многообразий, существование экзотических гладких структур на R4, теории Дональдсона и Зайберга - Виттена. Обсуждаются приложения последней к кэлеровым поверхностям и симплектическим многообразиям, а также к классическим проблемам топологии - нахождению минимального рода вложенных поверхностей и предъявлению бесконечных семейств попарно гомеоморфных, но не диффеоморфных четырехмерных многообразий.
Расположение материала отличается продуманностью, так что читатель имеет возможность «погружаться в материал» на разную «глубину», а именно, книгу можно использовать для беглого знакомства с предметом, можно использовать в качестве достаточно подробного обзора основных понятий, методов и конструкций, и, наконец, имеется возможность разобраться в деталях достаточно большого количества доказательств.
Изложение отличается геометрической наглядностью; книга содержит 274 рисунка, обширный список литературы и подробный трехуровневый предметный указатель.
Книга будет полезна студентам математических и физических факультетов, начиная со 2-го курса, а также аспирантам и научным работникам.
|
|
