Калитин Б.С. Устойчивость неавтономных дифференциальных уравнений / Белорус. гос. ун-т. - Минск: БГУ, 2013. - 227 с. - Библиогр.: с.215-224. - ISBN 978-985-518-936-8  Место хранения:   02 | Отделение ГПНТБ СО РАН | Новосибирск

Оглавление / Contents

ВВЕДЕНИЕ ........................................................ 3 Список условных обозначений .................................... 12 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 1.1 Общие свойства дифференциальных уравнений .............. 13 1.2 Равномерная интегральная непрерывность ................. 15 1.3 Предельные множества ................................... 20 1.4 Условия Каратеодори .................................... 23 1.5 Постановка задач об устойчивости ....................... 24 1.5.1 Устойчивость .................................... 24 1.5.2 Притяжение ...................................... 25 1.5.3 Асимптотическая устойчивость .................... 28 1.5.4 Относительная устойчивость и устойчивость множеств ........................................ 31 1.6 Функции Ляпунова ....................................... 32 1.6.1 Геометрическая структура поверхностей Ляпунова .. 34 1.7 Классические теоремы об устойчивости ................... 37 1.7.1 Неавтономные уравнения .......................... 37 1.7.2 Периодические по времени уравнения .............. 40 1.7.3 Автономные уравнения ............................ 42 1.8 Теоремы обращения ...................................... 44 1.9 Полудинамическая система ............................... 45 1.9.1 Определения и общие свойства .................... 46 1.9.2 Неавтономное дифференциальное уравнение ......... 46 1.9.3 Автономное функционально-дифференциальное уравнение с запаздыванием ....................... 50 1.10 Предельные уравнения ................................... 52 1.11 Принцип инвариантности ................................. 56 1.12 Предельные уравнения и устойчивость .................... 59 1.12.1 Общие свойства .................................. 59 1.12.2 Асимптотически автономные и асимптотически периодические уравнения ......................... 63 2 МЕТОД ПРЕДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1 Теоремы на основе конструкции динамической системы ..... 66 2.1.1 Предварительные построения ...................... 66 2.1.2 Теоремы второго метода .......................... 73 2.1.3 Примеры ......................................... 76 2.2 Теоремы А.А. Косова .................................... 83 2.3 Асимптотически треугольные уравнения ................... 91 2.3.1 Системы с асимптотически исчезающими возмущениями .................................... 91 2.3.2 Асимптотически треугольные системы .............. 95 2.3.3 Примеры ........................................ 100 2.4 Теоремы Н.Б. Григорьевой .............................. 105 2.4.1 Примеры ........................................ 108 3 МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ 3.1. Теоремы об устойчивости ............................... 109 3.1.1 Примеры ........................................ 120 3.1.2 Частный случай ................................. 125 3.1.3 Треугольные системы ............................ 126 3.1.4 Каскад взаимосвязанных систем .................. 129 4 МЕТОД СЕЙБЕРТА 4.1 Основная лемма ........................................ 134 4.2 Устойчивость .......................................... 137 4.3 Асимптотическая устойчивость .......................... 139 4.4 Глобальная асимптотическая устойчивость ............... 142 4.5 Неустойчивость ........................................ 144 4.6 Некоторые следствия ................................... 146 4.7 Примеры ............................................... 147 5 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 5.1 Уравнения с неизолированным состоянием равновесия ..... 153 5.1.1 Устойчивость ................................... 154 5.1.2 Неустойчивость ................................. 158 5.1.3 Множество неизолированных состояний равновесия ..................................... 161 5.2 5-устойчивость ........................................ 170 5.2.1 B-устойчивость автономных уравнений ............ 170 5.2.2 B-устойчивость неавтономных уравнений .......... 172 5.2.3 Условие Сейберта и устойчивость ................ 175 5.2.4 Устойчивость при постоянно действующих возмущениях .................................... 181 5.2.5 Постоянно действующие возмущения, ограниченные в среднем ......................... 184 5.3 Метод сравнения для задач устойчивости периодических систем ................................................ 196 6 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ 6.1 Критерии на основе метода предельных уравнений ........ 206 6.2 Критерии на основе метода декомпозиции ................ 207 6.3 Критерии на основе метода Сейберта .................... 209 6.4 Критерии с производными функции Ляпунова высших порядков .............................................. 210 6.5 Частные случаи ........................................ 211 6.5.1 Теорема об устойчивости ........................ 211 6.5.2 Устойчивость неизолированных состояний равновесия ..................................... 212 6.5.3 Треугольные системы ............................ 213 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................... 215