 | Чернов Н. Хаотические биллиарды: пер. с англ. / Н.Чернов, Р.Маркарян. - М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исслед., 2012. - 464 с.
ШИФР ОТДЕЛЕНИЯ ГПНТБ СО РАН В2-Ч493
| |
Предисловие ................................................... 13
Символы и обозначения ......................................... 17
Глава 1. Простые примеры ...................................... 19
1.1 Биллиард в круге ......................................... 19
1.2 Биллиард в квадрате ...................................... 25
1.3 Простая механическая модель .............................. 30
1.4 Биллиард в эллипсе ....................................... 33
1.5 Хаотический биллиард: автомат для игры в пинбол .......... 38
Глава 2. Основные построения .................................. 43
2.1 Биллиардные столы ........................................ 43
2.2 Неограниченные биллиардные столы ......................... 47
2.3 Биллиардный поток ........................................ 47
2.4 Накопление времени столкновений .......................... 50
2.5 Фазовое пространство для потока .......................... 52
2.6 Координатное представление потока ........................ 54
2.7 Гладкость потока ......................................... 56
2.8 Продолжение потока по непрерывности ...................... 58
2.9 Отображение столкновений ................................. 59
2.10 Координаты для отображения и его особые точки ............ 61
2.11 Производная отображения .................................. 63
2.12 Инвариантная мера отображения ............................ 65
2.13 Средняя длина свободного пробега ......................... 67
2.14 Инволюция ................................................ 69
Глава 3. Показатели Ляпунова и гиперболичность ................ 71
3.1 Показатели Ляпунова: общие факты ......................... 71
3.2 Показатели Ляпунова для отображения ...................... 74
3.3 Показатели Ляпунова для потока ........................... 77
3.4 Гиперболичность как источник хаоса ....................... 82
3.5 Гиперболичность и численные эксперименты ................. 84
3.6 Координаты Якоби ......................................... 85
3.7 Касательные и фронты волны ............................... 87
3.8 Непрерывные дроби, связанные с биллиардами ............... 90
3.9 Якобиан для касательных .................................. 93
3.10 Касательные в пространстве столкновений .................. 95
3.11 Устойчивые и неустойчивые прямые ......................... 96
3.12 Энтропия ................................................. 98
3.13 Доказательство гиперболичности: конусные методы ......... 101
Глава 4. Рассеивающие биллиарды .............................. 105
4.1 Классификация и примеры ................................. 105
4.2 Другая механическая модель .............................. 108
4.3 Рассеивающиеся фронты волны ............................. 110
4.4 Гиперболичность ......................................... 114
4.5 Устойчивые и неустойчивые кривые ........................ 117
4.6 Доказательство предложения 4.29 ......................... 120
4.7 Еще о непрерывных дробях ................................ 127
4.8 Особенности (локальный анализ) .......................... 132
4.9 Особенности (глобальный анализ) ......................... 136
4.10 Особенности для биллиардных столов типа В ............... 139
4.11 Устойчивые и неустойчивые многообразия .................. 142
4.12 Размер неустойчивых многообразий ........................ 145
4.13 Дополнительные факты о неустойчивых многообразиях ....... 148
4.14 Расширение на биллиардные столы типа В .................. 151
Глава 5. Динамика неустойчивых многообразий .................. 155
5.1 Измеримое разбиение на неустойчивые многообразия ........ 155
5.2 u-SRB плотности ......................................... 157
5.3 Контроль за искажением и полосы однородности ............ 162
5.4 Однородные неустойчивые многообразия .................... 164
5.5 Размер Н-многообразий ................................... 166
5.6 Ограничения на искажения ................................ 170
5.7 Голономное отображение .................................. 176
5.8 Абсолютная непрерывность ................................ 180
5.9 Две леммы о росте ....................................... 186
5.10 Доказательство двух лемм о росте ........................ 189
5.11 Третья лемма о росте .................................... 196
5.12 Размер Н-многообразий (локальная оценка) ................ 202
5.13 Фундаментальная теорема ................................. 204
Глава 6. Эргодические свойства ............................... 207
6.1 История ................................................. 207
6.2 Метод Хопфа: эвристический подход ....................... 208
6.3 Метод Хопфа: предварительная подготовка ................. 210
6.4 Метод Хопфа: главное построение ......................... 212
6.5 Локальная эргодичность .................................. 216
6.6 Глобальная эргодичность ................................. 222
6.7 Свойства перемешивания .................................. 223
6.8 Эргодичность и инвариантные многообразия для
биллиардных потоков ..................................... 226
6.9 Свойства перемешивания потока и 4-петли ................. 228
6.10 Доказательство K-перемешивания с использованием
4-петель ................................................ 231
6.11 Свойства перемешивания для потоков рассеивающих
биллиардов .............................................. 234
Глава 7. Статистические свойства ............................. 237
7.1 Введение ................................................ 237
7.2 Определения ............................................. 238
7.3 Исторический обзор ...................................... 243
7.4 Стандартные пары и семейства ............................ 246
7.5 Лемма спаривания ........................................ 251
7.6 Свойство равнораспределения ............................. 255
7.7 Экспоненциальное убывание корреляций .................... 257
7.8 Центральная предельная теорема .......................... 261
7.9 Другие предельные теоремы ............................... 268
7.10 Статистика столкновений и диффузия ...................... 272
7.11 Сплошные прямоугольники и прямоугольники Кантора ........ 277
7.12 «Магнитный» прямоугольник ............................... 281
7.13 Промежутки, восстановление, остановка ................... 287
7.14 Построение отображения спаривания ....................... 291
7.15 Экспоненциальная оценка хвоста .......................... 299
Глава 8. Биллиарды Бунимовича ................................ 303
8.1 Введение ................................................ 303
8.2 Механизм дефокусировки .................................. 304
8.3 Столы Бунимовича ........................................ 306
8.4 Гиперболичность ......................................... 308
8.5 Неустойчивые волновые фронты и непрерывные дроби ........ 313
8.6 Еще немного непрерывных дробей .......................... 316
8.7 Устранение несущественных столкновений .................. 322
8.8 Стадионы ................................................ 326
8.9 Равномерная гиперболичность ............................. 331
8.10 Устойчивые и неустойчивые кривые ........................ 335
8.11 Конструкция устойчивых и неустойчивых многообразий ...... 339
8.12 u-SRB плотности и ограничения на искажения .............. 343
8.13 Абсолютная непрерывность ................................ 347
8.14 Леммы о росте ........................................... 352
8.15 Эргодичность и статистические свойства .................. 362
Глава 9. Фокусирующие хаотические биллиарды общего вида ...... 367
9.1 Доказательство гиперболичности с помощью техники
конусов ................................................. 368
9.2 Доказательство гиперболичности с помощью квадратичных
форм .................................................... 371
9.3 Квадратичные формы в биллиардах ......................... 374
9.4 Построение гиперболических биллиардов ................... 376
9.5 Абсолютно фокусирующие дуги ............................. 381
9.6 Поле конусов для абсолютно фокусирующих дуг ............. 385
9.7 Непрерывные дроби ....................................... 388
9.8 Особенности ............................................. 390
9.9 Приложение теории Песина и Катка-Стрельцина ............. 396
9.10 Инвариантные многообразия и абсолютная непрерывность .... 400
9.11 Доказательство эргодичности с помощью «регулярных
накрытий» ............................................... 402
Послесловие .................................................. 411
Приложение А. Теория меры .................................... 413
Приложение В. Теория вероятности ............................. 427
Приложение С. Эргодическая теория ............................ 437
Литература ................................................... 451
Предметный указатель ......................................... 461
|
| В этой книге рассматривается один из самых волнующих, но самых трудных вопросов современной теории динамических систем - хаотические биллиарды. В физике с помощью моделей биллиардов описываются различные механические процессы, молекулярная динамика и оптические явления.
За последние тридцать пять лет в теории хаотического биллиарда достигнуты значительные успехи, но в силу разбросанности основных результатов по малодоступным научным статьям она остается трудной для начинающих. Это первая и пока единственная книга, в которой полностью и систематически изложены все основные факты о хаотических биллиардах. Книга содержит все необходимые определения, полные доказательства всех основных теорем и множество примеров и иллюстраций, помогающих читателю понять материал. Сотни тщательно разработанных упражнений позволяют читателю не только ознакомиться с хаотическими биллиардами, но и усвоить данную тему.
Книга адресована аспирантам и молодым исследователям в области физики и математики. Условием для работы с ней является прохождение последипломных курсов теории меры, вероятности, римановой геометрии, топологии и комплексного анализа. Некоторые из этих материалов собраны в приложениях к данной книге.
|
|
