От редакции ................................................... xxv
Предисловие .................................................. xxxi
Примечание к новому изданию, 1912 г. ......................... xxxi
ЧАСТЬ II. АБСТРАКТНАЯ ДИНАМИКА
Глава 5. Введение ............................................... 3
§§ 438-447. Приближенное рассмотрение физических проблем.
Дальнейшие приближения ....................................... 3
§§ 448,449. Предмет этой главы .................................. 5
§§ 450-452. Законы трения ....................................... 6
§ 453. Характер изложения ...................................... 7
Глава 6. Статика частицы. Притяжение ............................ 8
§ 454. Предмет этой главы ...................................... 8
§§ 455,456. Условия равновесия частицы. Равновесие частицы.
Угол трения .................................................. 8
§§ 457-462. Притяжение. Универсальный закон притяжения.
Специальные единицы количества вещества. Линейная,
поверхностная и объемная плотности. Количество
электричества и магнетизма. В абстрактной теории притяжения
допустимы положительные и отрицательные массы. Однородная
сферическая оболочка. Притяжение внутренней точки ........... 11
§§ 463-470. Отступление относительно разделения поверхности на
элементы. Определения и построения для конусов. Телесный
угол конуса или полной конической поверхности. Сумма всех
телесных углов вокруг точки равна 4тг. Сумма телесных
углов всех полных конических поверхностей равна 2тг.
Телесный угол с вершиной в данной точке, стягиваемый
поверхностью. Ортогональные и наклонные сечения малого
конуса. Площадь сегмента, вырезаемого малым конусом из
сферической поверхности ..................................... 13
§§ 471,472. Однородная сферическая оболочка. Притяжение
внешней точки. Сила притяжения, действующая на элемент
поверхности ................................................. 16
§§ 473-481. Притяжение, создаваемое сферической поверхностью,
плотность которой меняется обратно пропорционально кубу
расстояния от заданной точки. Неизолированная сфера
под влиянием заряженной точки. Прямой аналитический расчет
притяжения. Однородная сферическая оболочка. Притяжение,
создаваемое однородным круглым диском в точке на его оси.
Притяжение, создаваемое цилиндром в точке на оси.
Притяжение, создаваемое прямым конусом в его вершине.
Положительный и отрицательный диски. Изменение силы
при пересечении притягивающей поверхности. Притяжение,
создаваемое однородной полусферой в точке на ее крае.
Изменение широты холмом или ямой полусферической формы.
Изменение широты расщелиной. Притяжение, создаваемое
сферой, состоящей из концентрических оболочек однородной
плотности. Притяжение, создаваемое однородной дутой
окружности. Притяжение, создаваемое отрезком однородной
прямой линии ................................................ 18
§§ 482-491. Потенциал. Связь между силой и потенциалом.
Эквипотенциальная поверхность. Относительная величина силы
в разных точках эквипотенциальной поверхности. Силовая
линия. Изменение величины силы вдоль силовой линии.
Потенциал, создаваемый притягивающей точкой. Аналитическое
исследование значения потенциала. Сила в данной точке.
Сила внутри однородной сферы. Скорость изменения силы
в данном направлении. Уравнение Лапласа. Обобщение
уравнения Лапласа, предложенное Пуассоном. Потенциал,
создаваемый веществом, расположенным в концентрических
сферических оболочках однородной плотности. Потенциал,
создаваемый бесконечно длинными коаксиальными прямыми
цилиндрами однородной плотности. Потенциал, создаваемый
бесконечными параллельными плоскостями однородной
плотности. Уравнение эквипотенциальной поверхности .......... 33
§§ 492-494. Интеграл от нормальной компоненты силы притяжения
по замкнутой поверхности. Эквивалент пуассоновского
обобщения уравнения Лапласа. Обратная задача. Равенство
сил притяжения, создаваемых однородным эллипсоидом и
описанным фокалоидом той же массы. Определение гомеоида
и фокалоида. Теорема Маклорена. Доказательство теоремы
Маклорена. Эквивалентность оболочек в теореме Маклорена.
Отступление относительно притяжения, создаваемого
эллипсоидом. Нахождение потенциала, создаваемого
эллипсоидом в произвольной внутренней точке. Притяжение,
создаваемое бесконечно длинным эллиптическим цилиндром.
Внутренние изодинамические поверхности подобны
ограничивающей поверхности .................................. 45
§§ 495-498. Потенциал в свободном пространстве не может
принимать максимальное или минимальное значение.
Потенциал имеет минимакс в точках свободного пространства,
где сила равна нулю. Теорема Ирншоу о неустойчивом
равновесии. Среднее значение потенциала на сферической
поверхности равно значению в ее центре. Теорема Гаусса ...... 59
§§ 499-518. Задача Грина. Приведение к общему решению
уравнения Лапласа. Решение путем приведения к частному
решению уравнения Лапласа. Изоляция эффекта замкнутой
частью поверхности. Задача Грина в применении к заданному
распределению плотности заряда. Влияние проводящей
поверхности. Применение результатов из § 501 к более
сложной задаче. Общая задача о воздействии электрического
заряда. Одновременное воздействие электрических зарядов
в пространствах, разделенных бесконечно тонкими
проводящими поверхностями. Упрощенная задача Грина.
Примеры. Электрические силы изображения. Преобразование
к обратным радиус-векторам. Общая сводка отношений.
Применение к потенциалу. Произвольное распределение на
сферической оболочке. Эксцентрически отраженная
однородная оболочка ........................................ 61
§§ 519-527. Другой способ исследования притяжения,
создаваемого эллипсоидом. Эллиптический гомеоид не
оказывает воздействия на внутренние точки. Теорема
Ньютона. Распределение электричества на эллипсоидальном
проводнике. Сила, внешняя по отношению к эллиптическому
гомеоиду. Отступление: другое доказательство теоремы
Маклорена. Аналитические выражения для величины и
направления силы притяжения внешней точки эллиптическим
гомеоидом. Определение потенциала, создаваемого
эллиптическим гомеоидом во внешней или внутренней
точке. Построение концентрических гомеоидов. Потенциал,
создаваемый неоднородным эллипсоидом. Сила притяжения,
создаваемая неоднородным эллипсоидом. Потенциал и сила
притяжения, создаваемые однородным эллипсоидом вращения.
Случаи сплющенного и вытянутого эллипсоидов ................. 76
§§ 528-533. Третий способ исследования притяжения,
создаваемого эллипсоидом. Соответственные точки на
конфокальных эллипсоидах. Отступление: ортогональная
траектория конфокального эллипсоида описывается каждой
точкой конфокально деформированного сплошного эллипсоида.
Лемма Айвори о соответственных точках. Доказательство
теоремы Айвори. Проведенное Шалем сравнение потенциалов,
создаваемых двумя конфокальными гомеоидами.
Доказательство теоремы Пуассона о притяжении
эллиптическим гомеоидом. Закон притяжения, при котором
однородная сферическая оболочка не оказывает действия на
внутреннюю точку. Теорема Кэвендиша ......................... 86
§§ 534,535. Центр тяжести. Центробарические тела,
доказательство их существования Грином. Свойства
центробарических тел. Центробарическая оболочка.
Центробарическое твердое тело. Центр тяжести (если он
существует) является также центром инерции.
Центробарическое тело кинетически симметрично
относительно его центра тяжести ............................. 90
§§ 536-546. Происхождение сферического гармонического анализа
Лежандра и Лапласа. Применение сферического гармонического
анализа. Потенциал удаленного тела. Притяжение удаленного
тела частицей. Принцип приближения, используемого в общей
теории центра тяжести. Потенциал, создаваемый сплошной
сферой с гармоническим распределением плотности.
Потенциал, создаваемый произвольной массой, в виде
гармонического ряда. Применение к вычислению фигуры
Земли. Случай потенциала, симметричного относительно
оси. Примеры. I. Потенциал кругового кольца. П. Потенциал
круглого диска. III. Потенциал вблизи круглой катушки
гальванометра ............................................... 96
§§ 547-550. Уменьшение потенциальной энергии. Метод Грина.
Уменьшение потенциальной энергии при возможности
конденсации рассеянного вещества. Метод Гаусса.
Равновесие отталкивающихся частиц на жесткой гладкой
поверхности ................................................ 107
Глава 7. Статика твердых тел и жидкостей ...................... 112
§§ 551-558. Жесткое тело. Равновесие свободного жесткого тела.
Равновесие жесткого тела при наличии ограничений. Пример:
два ограничения, четыре уравнения равновесия и два
множителя, определяющих ограничивающие силы. Уравнения
равновесия без определения реакций связей. Равновесие
сил, приложенных к гайке на неподвижном винте без трения.
Работа, совершаемая одной силой, действующей на гайку,
поворачивающуюся на неподвижном винте без трения.
Уравнение равновесия сил, приложенных к гайке на
неподвижном винте без трения. Аналитическое
представление в прямоугольных координатах. Две
компоненты обобщенной скорости, соответствующие двум
степеням свободы. Уравновешивающие и равнодействующие
силы ....................................................... 112
§ 559. Пары сил. Сложение пар сил. Разложение силы на силу и
пару сил. Применение к равновесию жесткого тела. Силы,
представленные сторонами многоугольника. Силы,
пропорциональные и перпендикулярные сторонам
треугольника. Сложение силы и пары сил. Сложение
произвольного набора сил, действующих на жесткое тело.
Центральная ось ............................................ 118
§§ 560-570. Сведение к двум силам. Симметричный случай.
Сложение параллельных сил. Центр тяжести. Параллельные
силы, алгебраическая сумма которых равна нулю. Условия
равновесия трех сил. Физическая аксиома. Равновесие под
действием силы тяжести. Качающиеся камни. Равновесие
относительно оси. Равновесие на неподвижной поверхности.
Теорема Паппа .............................................. 121
§§ 571,572. Элементарные механизмы. Примеры. I. Весы.
Чувствительность. И. Стержень со связью без трения. III.
Стержень, ограниченный поверхностями с трением. IV. Брус
на плоскости с трением. V. Тело, поддерживаемое кольцами,
надетыми на столб с трением ................................ 127
§§ 573-587. Равновесие гибкой нерастяжимой нити. Цепная
линия. Три метода исследования. Уравнения равновесия по
отношению к касательной и соприкасающейся плоскостям.
Интеграл для натяжения. Уравнения равновесия в декартовых
координатах. Энергетический метод. Уравнение для энергии
в равновесии. Цепная линия (в общеупотребительном
смысле). Родственная задача кинетики. Примеры. Цепная
линия. Обратная задача. Цепная линия однородной
прочности. Гибкая струна на гладкой поверхности. Гибкая
струна на шероховатой поверхности. Канат, навернутый
на шероховатый цилиндр ..................................... 132
§§ 588-603. Упругие проволоки, волокна, стержни, бруски,
слои и балки. Правила сложения и разложения для кривизны
кривой линии. Законы гибкости и кручения проволоки.
Искривление нормального сечения при бесконечно малых
деформациях кручения и изгиба. Повороты, соответствующие
изгибу и кручению. Потенциальная энергия упругой силы в
изогнутой и закрученной проволоке. Три главных, или
нормальных, оси кручения и изгиба. Главные крутильно-
изгибные жесткости. Три главных, или нормальных,
спирали. Случай, когда упругая центральная линия
является нормальной осью кручения. Случай одинаковой
гибкости во всех направлениях. Деформированная
проволока с заданной спиралью и кручением произвольного
вида. Определение кручения, при котором действие
сводится к одной силе ...................................... 144
§§ 604-608. Спиральные пружины. Спиральная пружина с
бесконечно малым углом наклона ............................. 152
§§ 609-613. Упругая кривая, переносящая силу и пару сил.
Сравнение с кинетическим аналогом задачи, проведенное
Кирхгофом. Графическое построение упругой кривой,
переносящей силу в одной плоскости. Уравнение плоской
упругой кривой. Слабо изогнутый лук. Плоская упругая
кривая и обыкновенный маятник .............................. 157
§§ 614-626. Проволока произвольной формы, возмущаемая силами
и парами сил, приложенными по всей ее длине. Продольное
натяжение. Уравнения кручения-изгиба. Кручение и две
компоненты кривизны проволоки (или компоненты угловых
скоростей вращающегося твердого тела). Граничные
условия. Прямая проволока при бесконечно малом изгибе.
Случай независимого изгиба в двух плоскостях. Доска,
изгибаемая собственным весом. Доска, опертая в концах.
Доска, опертая в середине. Сравнение провисания в
разных случаях. Доска, поддерживаемая на концах или
в середине. Доска, поддерживаемая в трех или более
точках. Доска, поддерживаемая на концах и в середине.
Вращение проволоки вокруг упругой центральной линии.
Упругое универсальное гибкое соединение. Практические
неравенства. Упругое вращающееся соединение. Вращение
прямой проволоки, согнутой в кольцо, вокруг ее упругой
центральной окружности. Вращение кольца из проволоки
с одинаковой гибкостью во всех направлениях, имеющей
круговую форму в недеформированном состоянии, вокруг
ее упругой центральной кривой. Проволока с
неодинаковой гибкостью в разных направлениях, имеющая
круговую форму в недеформированном состоянии,
изгибается в другую окружность путем уравновешивания
пар сил, приложенных к ее концам. Конический изгиб
развертывающейся поверхности ............................... 165
§§ 627-642. Изгиб плоской упругой пластины. Определения.
Геометрическое отступление. Случай слабого растяжения
средней поверхности по сравнению с растяжением каждой
стороны пластины. Растяжение плоскости при
синкластическом или антикластическом изгибе. Растяжение
искривленной поверхности, не удовлетворяющей условию
Гаусса. Теорема Гаусса об изгибе. Ограничения, налагаемые
на силы и изгиб в элементарной теории упругой пластины.
Результаты общей теории. Предварительный обзор. Законы,
описывающие изгиб упругой пластины. Предварительный
обзор. Пара сил напряжений, действующая на нормальное
сечение. Равенство компонент кручения вокруг любых двух
взаимно перпендикулярных осей. Главные оси изгибающего
напряжения. Определение синкластических и
антикластических напряжений. Антикластическое напряжение,
отнесенное к его главным осям и к осям, наклоненным под
углом 45°. Октантное разложение и сложение
антикластических напряжений. Построение по правилу
параллелограмма. Геометрические аналогии. Две
цилиндрические кривизны с перпендикулярными осями и
антикластическая кривизна с осями, делящими пополам
прямые углы между ними. Сферическая кривизна и две
антикластических кривизны. Сферическая и одна
антикластическая кривизна. Работа, совершаемая при
изгибе. Дифференциальные уравнения в частных
производных для работы, совершаемой при изгибании
упругой пластины. Потенциальная энергия изогнутой
упругой пластины. Случай одинаковой гибкости во всех
направлениях. Синкластическая и антикластическая
жесткость пластины ......................................... 183
§§ 643,644. Пластина, изгибаемая произвольными силами.
Условия равновесия пластины, изгибаемой произвольными
силами. Уравнения, связывающие напряжение и кривизну.
Дифференциальное уравнение в частных производных,
описывающее изогнутую поверхность .......................... 200
§§ 645-648. Граничные условия. Три граничных условия Пуассона.
Достаточность двух условий, доказанная Кирхгофом.
Исследование граничного условия Кирхгофа. Распределение
сил сдвига, создающее такой же изгиб, что и заданное
распределение пар сил относительно осей, перпендикулярных
к границе. Однородное распределение крутящей пары сил
не создает изгиба. Распределение силы сдвига, создающее
такой же изгиб, что и распределение крутящей пары сил ...... 204
§§ 649-651. Случай круговой деформации пластины. Независимое
исследование круговой деформации. Интерпретация отдельных
членов в полном интеграле .................................. 208
§§ 652,653. Симметричный изгиб плоского кольца. Изгиб
плоского кольца, уравновешенный силами, симметрично
распределенными по его краям. Изгиб плоского кольца,
уравновешенный силами, симметрично распределенными по его
площади. Круглый стол из изотропного материала,
нагруженный собственным весом .............................. 213
§§ 654-657. Приведение общей задачи к случаю отсутствия
нагрузки по всей площади. Плоское круглое кольцо -
единственный решаемый случай. Прямоугольная пластина,
поддерживаемая и нагруженная диагональными парами углов.
Переход к конечному изгибу ................................. 217
§§ 658-674. Перенос силы через упругое твердое тело.
Однородное напряжение. Перенос силы через произвольную
поверхность в упругом твердом теле. Задание напряжения
шестью независимыми элементами. Связь между парами
касательных натяжений, необходимая для равновесия. Шесть
независимых элементов, задающих напряжение: три чисто
продольных напряжения и три напряжения чистого сдвига.
Поверхность второго порядка для напряжений. Главные
плоскости и оси напряжения. Разновидности поверхностей
второго порядка для напряжений. Сложение напряжений.
Сравнение правил сложения для деформаций и напряжений.
Элементы деформаций и напряжений в прямоугольных
координатах. Работа, совершаемая напряжением в
деформируемом твердом теле. Работа, совершаемая на
поверхности деформируемого твердого тела. Компоненты
деформаций, выраженные через смещения. Связь между
работами внутри и на поверхности тела. Дифференциальное
уравнение для работы, производимой напряжением.
Применение в физике. Определение идеально упругого
тела в абстрактной динамике. Потенциальная энергия
деформированного упругого твердого тела. Компоненты
напряжения, выраженные через компоненты деформации.
Компоненты деформации, выраженные через компоненты
напряжения. Среднее напряжение при произвольном
изменении деформации ....................................... 221
§§ 675-680. Определение однородности. Молекулярная гипотеза
предполагает мелкозернистую структуру кристалла и
отсутствие однородности в конечном счете. Масштабы
средней однородности. Определение изотропных и
анизотропных веществ. Изотропия и анизотропия различных
свойств. Практическое ограничение изотропии и
однородности анизотропии средним значением для агрегата
молекул. Условия упругой изотропии. Мера сопротивления
сжатию и изменению формы. Объемный модуль упругости, или
модуль сжатия. Сжимаемость. Определение жесткости, или
модуля сдвига .............................................. 233
§§ 681-685. Несоответствие между деформацией сдвига и
напряжением сдвига, создаваемыми чисто продольными
деформациями и напряжениями. Деформация, создаваемая
чисто продольным напряжением. Модуль Юнга равен.
Отношение поперечного сокращения к продольному
расширению варьирует от 1/2 для желеобразных тел до 0 для
пробки. Беспочвенность предположения об отношении 1/4
для идеального твердого тела ............................... 236
§§ 686-691. Определение модуля Юнга, или продольной
жесткости. Весовой модуль и длина модуля. Скорость
распространения чисто продольного напряжения в стержне.
Удельный модуль Юнга изотропного тела в абсолютных
единицах и в весовых единицах для данной местности.
Метрические знаменатели модулей упругости. Практические
правила для скоростей волн. Деформации без изменения
объема. Распространение волн сжатия в упругом твердом
теле, в жидкости и в газе. Гравитационные волны в
жидкости. Поперечные колебания натянутой струны.
Отступление относительно средней удельной работы
деформации (из статьи "Упругость" в Британской
энциклопедии). Примеры средней удельной работы деформа
§§ 692-695. Напряжение, необходимое для поддержания чисто
продольной деформации. Компоненты напряжения, выраженные
через деформации, для изотропного тела. Уравнение для
энергии .................................................... 247
§§ 696-698. Основные задачи математической теории. Условия
внутреннего равновесия, выражаемые тремя уравнениями.
Общие уравнения внутреннего равновесия. Будучи
достаточными, общие уравнения показывают, что силы,
действующие на любую часть тела, предполагаемую жесткой,
удовлетворяют шести уравнениям равновесия. Проверка
уравнений равновесия для любой части тела,
предполагаемой жесткой. Упрощенные уравнения для
изотропного твердого тела .................................. 249
§§ 699-708. Применение к задачам, связанным с кручением
(теория Сен-Венана). Постановка задачи о кручении. Лемма.
Крутильная жесткость кругового цилиндра. Призма
произвольной формы, подвергнутая чистому кручению,
требует присутствия натяжений на ее гранях. Натяжение на
гранях призмы, подвергнутой чистому кручению. Поправка
Сен-Венана для деформации, создаваемой крутящими парами
сил, приложенными к концам призмы. Гидродинамический
аналог задачи о кручении. Решение задачи о кручении.
Применение уравнения для кручения в гидродинамике.
Уравнения для деформаций, напряжений и внутреннего
равновесия. Равнодействующая пара сил натяжения в
нормальном сечении. Решаемые случаи Сен-Венана.
Решение для эллиптического цилиндра. Решение для
равностороннего треугольника. Решение для криволинейных
квадратов. Решение для четырехконечной звезды со
скругленными концами. Сведение к задаче Грина. Решение
для прямоугольной призмы с применением фурье-анализа.
Обобщение на класс криволинейных прямоугольников.
Преобразование Ламе к плоским изотермическим координатам.
Теорема Стокса-Ламе. Решение для прямоугольника,
составленного из плоских изотерм. Пример: прямоугольник,
ограниченный двумя концентрическим дугами и двумя
радиусами. Контурные линии нормального сечения
эллиптического цилиндра, деформированного кручением,
в виде равносторонних гипербол. Контурные линии
нормального сечения треугольной призмы, деформированного
кручением. Диаграмма Сен-Венана — криволинейные
квадраты, для которых задача о кручении разрешима.
Контурные линии для сен-венановской четырехконечной
звезды со скругленными концами. Контурные линии
нормального сечения квадратной призмы, деформированного
кручением. Эллиптический квадрат и закрученный гладкий
прямоугольный стержень ..................................... 253
§§ 709-718. Крутильная жесткость составляет меньшую часть
суммы главных изгибных жесткостей, нежели дает ошибочное
обобщение (§ 703) закона Кулона. Отношение крутильных
жесткостей круглых стержней а) с одинаковым моментом
инерции, б) сделанных из одного и того же материала.
Места наибольшей деформации в закрученных призмах.
Напряжения в твердых телах произвольной формы при
наличии краев либо пирамидальных или конических углов.
Деформация вблизи бесконечно малых выступающих и входящих
углов. Возможность образования трещин около входящих
углов и в местах слишком большой отрицательной кривизны.
Случаи криволинейных прямоугольников, для которых
разрешима задача о кручении. Нулевая деформация в
центральном угле сектора (4), бесконечная в центральном
угле сектора (6) и нулевая во всех других углах. Задача
об изгибе. Вынужденное условие отсутствия деформаций в
нормальных сечениях. Поверхностное натяжение (Р, Q),
необходимое для предотвращения деформации нормального
сечения. Поправка для устранения латерального натяжения.
Решение задачи об изгибе, полученное Сен-Венаном. Изгиб
стержня. Линия, проходящая через центры инерции нормальных
сечений, не меняет своей длины. Изгиб на конечный угол в
одной плоскости, создаваемый взаимно уравновешенными парами
сил на двух концах, происходит в одной из двух главных
плоскостей. Главные изгибные жесткости и оси.
Геометрическая интерпретация деформации нормальной
плоскости. Антикластическая и коническая кривизна,
создаваемая на четырех гранях прямоугольной призмы при
изгибании в главной плоскости. Экспериментальная
иллюстрация. Пренебрежение влиянием обычного изгиба
тонкой плоской пружины и связанное с этим более жесткое
ограничение на кривизну (§ 628), нежели в § 588, когда
тонкая плоская пружина изгибается в плоскости,
перпендикулярной к ее ширине ............................... 276
§§ 719-727. Изгибание пластины одиночным изгибающим
напряжением. Одновременное изгибание напряжениями в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях. Напряжения при
цилиндрической, сферической и антикластической кривизне.
Изгибная жесткость пластины при цилиндрической
синкластической и антикластической кривизне. Тот же
результат для антикластического изгиба пластины,
получаемый переходом от чистого кручения прямоугольной
призмы. Анализ натяжения в нормальном сечении
прямоугольной призмы. Напряжения в нормальном сечении
длинной прямоугольной пластины при закручивании.
Однородное распределение пары сил, приложенной к краям
пластины, соответствующее однородности напряжений
внутри нее. Алгебраическое решение для смещений,
деформаций и напряжений в изогнутой пластине с
однородной антикластической кривизной. Тонкая
прямоугольная пластина с краевым натяжением, описанным
в § 647. Переход к пластине без углов с краевым
натяжением, описанным в § 647. Сдвиг начала координат
из средней плоскости к одной из сторон пластины.
Смещение вещества, создаваемое краевым натяжением,
описанным в § 647 .......................................... 286
§§ 728,729. Независимое исследование случая, описанного в
§ 647. Быстрое уменьшение деформации при удалении вглубь
от края .................................................... 294
§§ 730,731. Задачи, подлежащие решению. Общая задача для
бесконечного твердого тела, решенная для случая
изотропного вещества. Общие уравнения. Интегрирование
уравнений для бесконечного изотропного твердого тела.
Сила, равномерно приложенная к сферической части
бесконечного однородного твердого тела. Создаваемое ею
растяжение. Исследование смешения. Смещение, создаваемое
силой, приложенной к бесконечно малой части бесконечного
упругого твердого тела. Смещение, производимое
произвольно распределенной силой в бесконечном упругом
твердом теле ............................................... 297
§§ 732-734. Применение к задаче из § 696. Сведение задачи к
случаю отсутствия объемной силы. Важный класс задач,
сводимых к случаю отсутствия объемной силы. Задача из
§ 696 при наличии только поверхностных сил. Уравнение
равновесия для поверхностного натяжения. Условия на
поверхности при заданных натяжениях ........................ 304
§§ 735,736. Решение задачи из § 696 для сферической оболочки.
Представление растяжения в виде сходящегося ряда по
сферическим гармоникам. Общая теорема о разложимости по
телесным гармоникам. Определение смещений в
предположении, что растяжение известно. Полное
гармоническое решение уравнений внутреннего равновесия.
Сплошная сфера с заданными смещениями на поверхности.
Полая сфера с заданными смещениями на внешней и
внутренней поверхностях .................................... 309
§ 737. Заданное поверхностное натяжение. Компоненты натяжения
на произвольной сферической поверхности с центром в
начале координат в виде разложения по гармоникам.
Разложение по гармоникам условий, заданных на
поверхности. Уравнения равновесия для поверхностных
натяжений. Ограничения, налагаемые условием равновесия
на произвольные в остальном гармоники поверхностных
натяжений. Общее решение для поверхностных натяжений.
Решения для сферической оболочки и сплошной сферы.
Случай однородной деформации. Неопределенные повороты
без деформации в общем решении для смещения при
заданной силе .............................................. 318
§§ 738,739. Определение плоской деформации. Определение
плоских гармонических функций. Задача для плоской
деформации цилиндра, решаемая разложением по плоским
гармоникам ................................................. 327
§ 740. Малые тела прочнее больших по отношению к их весу.
Пример: прямой стержень, горизонтально подвешенный в
середине. Жесткость однородных стальных стержней
различного размера ......................................... 330
§§ 741-747. Переход к гидродинамике. Неидеальность упругости
твердых тел. Вязкость твердых тел. Вязкость жидкостей.
"Теория вязкого движения ледников" Форбса. Пластичность
твердых тел. Неограниченная идеальная пластичность без
внутреннего трения как характеристика идеальной жидкости
в абстрактной гидродинамике. Доказательство одинакового
давления жидкости во всех направлениях. Применение к
статике твердого тела. Центр давления. Применение принципа
энергии. Энергетический подход к доказательству
одинакового давления жидкости во всех направлениях ......... 332
§§ 748-751. Давление жидкости, зависящее от внешних сил.
Поверхности равного давления перпендикулярны к силовым
линиям. Поверхности равного давления являются
поверхностями равной плотности и равного потенциала, если
система сил консервативна. Случай присутствия одной лишь
силы тяжести
§§ 752,753. Скорость увеличения давления. Давление спокойной
атмосферы с однородной температурой. Высота однородной
атмосферы. Аналитическое исследование предыдущих теорем
§§ 754-756. Условия равновесия жидкости, заполняющей
замкнутый сосуд. Свободная поверхность в открытом сосуде
горизонтальна. Жидкость в замкнутом сосуде под действием
неконсервативной системы сил. Жидкость под действием
произвольной системы сил. Условие равновесия ............... 340
§§ 757-760. Идеальный пример равновесия под действием
неконсервативных сил. Реальный случай равновесия жидкости
под действием неконсервативных сил. Связь между
плотностью и потенциалом приложенных сил ................... 344
§ 761. Равнодействующая сил давления на плоскую поверхность.
Кинетическая мера р = gpz +ро .............................. 347
§§ 762,763. Кажущаяся потеря веса при погружении в жидкость.
Лемма ...................................................... 348
§§ 764-768. Устойчивость равновесия плавающего тела.
Вертикальные смещения. Работа, совершаемая при
вертикальном смещении. Смещение при повороте вокруг оси в
плоскости плавания. Работа, совершаемая при таком
смещении. Смещение общего вида. Необходимая работа.
Условия устойчивости. Метацентр. Условие его
существования .............................................. 351
§§ 769-776. Однородный эллипсоид как фигура равновесия
вращающейся массы жидкости. Квадрат искомой угловой
скорости пропорционален плотности жидкости. Таблица
соответственных значений эллиптичности и угловой
скорости. Средняя плотность Земли, выраженная через силу
притяжения. Период вращения сфероида с заданным
эксцентриситетом. Случай заданных массы и момента
импульса жидкости .......................................... 354
§§ 777,778. Эллипсоид равновесия с тремя неравными осями.
Общая задача о вращении массы жидкости. Устойчивость и
неустойчивость сплющенного сфероида вращения. Кольцевые
фигуры, вероятно, неустойчивы, если не наложены условия
симметрии относительно оси. Неустойчивость сплющенного
сфероида и устойчивость фигуры Якоби. Неустойчивые фигуры
Якоби. Конфигурация из двух разделенных вращающихся масс
устойчива .................................................. 360
§§ 779-782. Отступление относительно сферических гармоник.
Гармонический сфероид. Конус и линия узлов гармоник.
Теорема о конусе узлов. Случаи разложимости телесных
гармоник на множители. Полярные гармоники. Определение
зональных и секториальных гармоник. Тессеральное
разделение поверхности узлами полярной гармоники.
Аналитический метод зональных гармоник Мэрфи. Анализ
Мэрфи. Разложение по зональным гармоникам. Формулы для
зональных и тессеральных гармоник. Разложение по
двухосным гармоникам ....................................... 367
§§ 783,784. Физические задачи, связанные с плоскими
прямоугольными и круглыми пластинами. Примеры полярных
гармоник. Зональные, тессеральные и секториальные
гармоники шестого порядка. Зональные, тессеральные и
секториальные гармоники седьмого порядка. Полярные
гармоники шестого и седьмого порядка, таблицы и
графическое представление .................................. 375
§§ 785-788. Отступление относительно теории потенциала.
Уровень моря. Поверхность уровня относительно силы
тяжести и центробежной силы. Возмущение уровня моря там,
где плотность материала дна превышает среднее значение.
Изменение величины и направления силы тяжести в местах
локального превышения плотности материала дна над
средним значением. Пример влияния локального избытка
плотности на уровень моря и направление и величину силы
тяжести .................................................... 385
§§ 789-792. Гармонические сфероидальные уровни высокого
порядка. Изгибание уровня под действием параллельных
горных хребтов и долин. Практические выводы в отношении
изменения уровня моря и величины и направления силы
тяжести .................................................... 389
§§ 793-795. Возможность определения потенциала во всем
пространстве по его значениям в каждой точке поверхности.
Определение потенциала по его значению на сферической
поверхности, окружающей заданную массу. Определение
потенциала по форме приблизительно сферической
эквипотенциальной поверхности вокруг заданной массы.
Равнодействующая сила. Равнодействующая сила в
произвольной точке приблизительно сферической
поверхности уровня при наличии одной лишь силы тяжести и
при наличии силы тяжести и центробежной силы. Теоремы
Клеро. Фигуру уровня моря можно определить по
результатам измерений силы тяжести, если одна из
осей эллипсоида с тремя неравными осями совпадает
с осью вращения ............................................ 391
§§ 796,797. Трудности определения фигуры уровня моря путем
измерения силы тяжести, связанные с локальными
неоднородностями. Результаты геодезических измерений ....... 401
§§ 798-811. Примеры из гидростатики. Отсутствие сил
взаимодействия между частями жидкости. Пример из теории
приливов: результаты согласуются с простой теорией
равновесия. Поправка к простой теории равновесия. Приливы
в пренебрежении взаимным отталкиванием вод. Лунные или
солнечные полусуточные приливы. Лунные или солнечные
суточные приливы. Лунный двухнедельный прилив или
солнечный полугодовой прилив. Объяснение лунного
двухнедельного и солнечного полугодового приливов.
Практическая важность поправок на двухнедельные и
полугодовые приливы. Широта исчезновения двухнедельного
прилива. "Первичный" и "запаздывающий" приливы.
Несовпадение результатов наблюдений с теорией из-за
влияния инерции воды ....................................... 405
§ 812. Влияние Луны и Солнца на кажущуюся силу земного
притяжения ................................................. 419
§§ 813-818. Влияние приливов, объясняемое с привлечением
центробежной силы. Увеличение из-за взаимного притяжения
между частями возмущенной воды. Устойчивость океана.
Локальное влияние высокой воды на направление силы
тяжести. Притяжение, оказываемое высокой водой на
направление отвеса на берегу моря. Гравитационная
обсерватория ............................................... 421
§§ 819-821. Применение результатов § 817 к теории фигуры
Земли. Наблюдения показывают столь большую эллиптичность
уровня моря, что сплющенной должна быть не только
ограничивающая поверхность, но и внутренние слои равной
плотности .................................................. 429
§§ 822,823. Исследование равновесия вращающегося сфероида,
состоящего из неоднородной жидкости. Сфероидальная
поверхность равной плотности. Условие несжимаемости.
Уравнение гидростатики. Часть потенциала, обусловленная
сплющенностью, ее разложение по гармоникам. Уравнение
равновесия для гармонического члена общего вида.
Уравнение для общего коэффициента щ как функции от
т. Дифференциальное уравнение, подлежащее
интегрированию. Определение постоянных для получения
полного решения. Введение ньютоновского закона для силы.
Упрощение. Дифференциальное уравнение для соразмерного
отклонения от сферичности. Слои наибольшего и
наименьшего соразмерного отклонения от сферичности.
Соразмерное отклонение в случае центробежной силы и в
случае внешней силы. Случай центробежной силы .............. 431
§ 824. Гипотеза Лапласа относительно плотности внутри Земли.
Предполагаемая связь между плотностью и давлением. Закон
изменения плотности. Определение эллиптичности
поверхностей равной плотности. Отношение эллиптичности
поверхности к дроби, выражающей центробежную силу на
экваторе через силу тяжести на поверхности. Эллиптичность
внутреннего слоя. Отношение средней плотности к
поверхностной. Эллиптичность слоев равной плотности.
Распределение плотности внутри Юпитера и Сатурна ........... 441
§§ 825-827. Динамическая природа прецессии и нутации.
Прецессия, в отличие от силы тяжести на поверхности, дает
информацию относительно распределения массы Земли.
Постоянная прецессии, выводимая из закона Лапласа .......... 450
§§ 828,829. Сравнение гипотезы Лапласа с результатами
наблюдений. Учет сжимаемости в рамках гипотезы Лапласа.
Сжимаемость лавы, требуемая гипотезой Лапласа, сравнение
с экспериментальными данными ............................... 454
§§ 830,831. Численные оценки величины приливного трения.
Вековые вариации среднего движения Луны частично
объясняются приливным трением. Численная оценка
приливного торможения вращения Земли. Термодинамическое
ускорение вращения Земли. Замедление из-за падения
метеоритной пыли. Причины преобладания торможения.
Данные о затвердевании Земли. Соображения об охлаждении
Земли. Не исключены резкие изменения внутренней
плотности. Две несмешивающиеся однородные жидкости разной
плотности .................................................. 455
§§ 832-846. Жесткость Земли достаточно велика, чтобы
отвергнуть гипотезу геологов о тонкой твердой коре.
Внутренние напряжения, создаваемые весом континентов.
Условия нарушения упругости и разрушения твердых тел.
Предварительные оценки тенденции к разрушению по разности
наибольших и наименьших главных напряжений. Напряжения,
связанные с несоответствием между эллиптичностью сфероида
и суточным вращением. Напряжение, создаваемое рядом
параллельных горных цепей. Вывод о прочности внутренней
части Земли на основании высоты реальных континентов.
Приливное действие Солнца и Луны на Землю. Приливы в
упругих твердых телах. Однородный упругий твердый
шар со свободной поверхностью, деформируемый объемной
гармонической силой. Разделение двух модулей упругости.
Случай несжимаемого упругого твердого тела. Случаи
центробежной и приливной силы. Гармоника второй степени
создает эллиптическую деформацию, уменьшающуюся от
центра к поверхности. Высокие степени создают наибольшее
соразмерное отклонение от сферичности не в центре и не
на поверхности. Синтетическое доказательство максимальной
эллиптичности в центре при деформации второго порядка.
Сплющивание однородного упругого твердого шара при
вращении. Численные результаты для железа и стекла.
Вращательная и приливная эллиптичность слабо зависит
от сжимаемости шара из металла, стекла или упругого
желеобразного материала. Значение эллиптичности
поверхности шара того же размера и той же массы, что
и Земля, изготовленного из негравитирующего
однородного несжимаемого материала, обладающего
жесткостью стали. Сравнение влияния гравитации и
жесткости на форму большого однородного твердого
шара. Аналитическое введение в теорию гравитационных
эффектов. Гипотеза о неидеальной упругости Земли.
Жесткость Земли не могла бы противостоять приливным
силам, если только она не больше жесткости стали.
Влияние податливости твердой Земли на приливы на
жидкой поверхности. Жесткость Земли, вероятно, в
целом больше жесткости твердого стеклянного шара.
Динамическая теория приливов недостаточно совершенна,
чтобы оценить абсолютные значения параметров основных
явлений, но это не относится к двухнедельным и
полугодовым приливам. Величина двухнедельных приливов,
оцениваемая при различных допущениях относительно
жесткости. Жесткость Земли, вероятно, лучше всего
определять по результатам наблюдения за двухнедельными
приливами. Необходимость установки мареографов в
океанских портах. Недостаточность информации о
двухнедельных приливах, до сих пор поставляемой
только обсерваториями ...................................... 461
§§ 847,848. Достижения науки о приливах со времени выхода
первого издания этой книги. Теоретическая величина
двухнедельных и месячных эллиптических приливов.
Определение обозначений. Долгопериодные приливы. Формулы
для пересечения широты и прямого восхождения. Оценка
функции &. Теоретические формулы для равновесной величины
двухнедельных и месячных приливов. Максимальные и
минимальные значения в британских футах. Применение
метода наименьших квадратов. Теоретические оценки для
приливов с учетом объемной податливости Земли и
приливного трения. Численные результаты гармонического
анализа данных наблюдений за приливами. Жесткость Земли
не меньше жесткости стали .................................. 483
Приложения к главе 7 .......................................... 503
В. Уравнения равновесия упругого твердого тела, получаемые
из энергетического принципа ................................ 503
Г. О вековом охлаждении Земли ................................. 511
Д. О возрасте солнечного тепла ................................ 528
Е. О размере атомов ........................................... 536
Ж. О приливном трении (статья Дж.X. Дарвина) .................. 543
Предметный указатель .......................................... 558
Именной указатель ............................................. 559
|
