Предисловие ...................................................... 5
Введение ......................................................... 8

Глава 1. Виды гипергеометрических систем ........................ 25
1.1  Многомерные гипергеометрические системы .................... 27
1.2  Некоторые свойства системы уравнений Горна ................. 30
1.3  Биномиальные идеалы коразмерности 2 ........................ 32
1.4  А-гипергеометрические решения системы Горна ................ 35
1.5  Решения гипергеометрических систем в классе многочленов
     Пюизо и решения разностных уравнений с конечным носителем .. 39
1.6  Решения гипергеометрических систем, определяемых
     решетками .................................................. 45
1.7  Голономность и решения гипергеометрических систем .......... 48
1.8  Начальные идеалы, индексные идеалы и голономные ранги ...... 54
1.9  Явная конструкция гипергеометрических функций с полным
     носителем .................................................. 59
1.10 Голономность двумерной системы уравнений Горна для
     параметров общего положения ................................ 60
1.11 Использование свойства Коэна-Маколея для вычисления
     голономного ранга .......................................... 66

Глава 2. Интегральное представление Меллина-Барнса для решений
гипергеометрических D-модулей ................................... 69
2.1  Система разностных уравнений для веса интегрального
     представления .............................................. 70
2.2  Решение системы разностных уравнений ....................... 71
2.3  Условия трансляционной инвариантности контура
     интегрирования ............................................. 77
2.4  Достаточное условие существования интегрального
     преобразования ............................................. 79
2.5  Представление решений гипергеометрической системы в виде
     кратных рядов (случай простых особенностей) ................ 81
2.6  Условия разрешимости, гипергеометрические ряды и их
     носители ................................................... 84
2.7  Гипергеометрический Х>-модуль .............................. 90
2.8  Базис в пространстве голоморфных решений
     гипергеометрической системы с коммутирующими операторами ... 97

Глава 3. Особенности гипергеометрических функций многих
комплексных переменных ......................................... 105
3.1  Основные обозначения и определения ........................ 107
3.2  Решения гипергеометрической системы в классе рядов
     Пюизо ..................................................... 108
3.3  Веер гипергеометрической системы уравнений ................ 110
3.4  Минимальность особенностей гипергеометрических функций и
     дискриминантов ............................................ 112
3.5  Рациональность мероморфных неконфлюэнтных
     гипергеометрических функций ............................... 119
3.6  Рациональные гипергеометрические функции, контигуально
     эквивалентные ядрам Бергмана .............................. 123
3.7  Произведение Адамара гипергеометрических рядов ............ 129
     3.7.1  Многоугольник коэффициента неконфлюэнтного
            гипергеометрического ряда .......................... 130
     3.7.2  Мультипликативность произведения Адамара ........... 134
     3.7.3  Примеры вычисления особенностей
            гипергеометрических рядов .......................... 139

Глава 4. Области сходимости гипергеометрических рядов и
интегралов ..................................................... 141
4.1  Области сходимости гипергеометрических рядов Горна ........ 142
     4.1.1  Теорема Горна для двойных рядов .................... 142
     4.1.2  Теорема Горна для кратных рядов .................... 146
4.2  А-гипергеометрические ряды и их приведение к рядам Горна .. 151
     4.2.1  А-гипергеометрические системы и ряды ............... 151
     4.2.2  Предварительные сведения из линейной алгебры ....... 152
     4.2.3  Приведение А-гипергеометрических рядов к рядам
            Горна .............................................. 154
4.3  Области сходимости А-гипергеометрических рядов ............ 157
     4.3.1  А-дискриминантное множество и параметризация
            Горна-Капранова .................................... 157
     4.3.2  Главный А-детерминант, амёбы и коамёбы ............. 160
     4.3.3  Области сходимости А-гипергеометрических рядов ..... 161
     4.3.4  Пример определения областей сходимости
            А-гипергеометрических рядов ........................ 164
4.4  Интегралы Меллина-Барнса .................................. 168
     4.4.1  Области сходимости интегралов Меллина-Барнса ....... 168
     4.4.2  Редукция гипергеометрического ряда к интегралу
            Меллина-Барнса ..................................... 170
     4.4.3  Г-интеграл и его гипергеометричность ............... 171
     4.4.4  Область сходимости Г-интеграла ..................... 173
     4.4.5  Независимость Г-интегралов ......................... 174

Глава 5. Общая алгебраическая функция и классический
дискриминант ................................................... 176
5.1  Решения в виде гипергеометрических рядов .................. 178
     5.1.1  Дегомогенизация .................................... 178
     5.1.2  Разложение решений в ряды .......................... 179
5.2  Дискриминант .............................................. 180
     5.2.1  Определение и основные свойства .................... 180
     5.2.2  Подразбиения, многогранники и амёбы ................ 181
     5.2.3  Параметризация множества нулей дискриминанта ....... 183
     5.2.4  Критические точки униформизации Горна-Капранова .... 186
5.3  Области сходимости ........................................ 188
5.4  Уравнения с малым числом мономов .......................... 190
     5.4.1  Триномы ............................................ 190
     5.4.2  Тетраномы .......................................... 192
5.5  Сингулярные страты каспидального типа для классического
     дискриминанта ............................................. 193
     5.5.1  Параметризации классических приведенных
            дискриминантных множеств ........................... 196
     5.5.2  Амёбы дискриминантных множеств и их стратов ........ 196
     5.5.3  Критические страты параметризации приведенного
            дискриминантного множества ......................... 199
     5.5.4  Сингулярные страты приведенного уравнения и
            критические страты параметризации
            дискриминантного множества ......................... 204
     5.5.5  Параметризации стратов дискриминантного множества .. 208
     5.5.6  Доказательство теоремы 5.5.10 ...................... 211

Глава 6. Системы алгебраических уравнений: их дискриминантные
множества и решения ............................................ 215
6.1  Приведенная система и дегомогенизация дискриминантного
     множества ................................................. 217
6.2  Основные результаты ....................................... 220
6.3  Линеаризация приведенной системы и ее якобиан ............. 224
6.4  Множество критических точек линеаризации .................. 226
6.5  Сингулярные множества решений исходной и приведенной
     систем .................................................... 232
6.6  Доказательство теоремы 6.2.6 .............................. 235
6.7  Примеры параметризации дискриминантного множества
     системы алгебраических уравнений .......................... 237
6.8  Решение систем алгебраических уравнений ................... 240
     6.8.1  Линеаризация системы алгебраических уравнений ...... 241
     6.8.2  Доказательство теоремы 6.8.19 ...................... 242
     6.8.3  Формулы Варинга .................................... 245

Глава 7. Многомерные преобразования Меллина и их применения
к решению алгебраических уравнений ............................. 248
7.1  Теоремы обращения ......................................... 249
     7.1.1  Функциональные пространства, связанные с
            преобразованиями Меллина, и теоремы обращения ...... 249
     7.1.2  Доказательство теоремы обращения 7.1.4 ............. 250
     7.1.3  Доказательство теоремы обращения 7.1.3 ............. 253
7.2  Формулы обращения и решение алгебраических уравнений ...... 256
     7.2.1  Общее алгебраическое уравнение и интегральная
            формула для его решения ............................ 256
     7.2.2  Секториальная область голоморфности главного
            решения ............................................ 260
     7.2.3  Доказательство интегрального представления ......... 262
7.3  Выражение суперпозиции общих алгебраических функций
     через гипергеометрические ряды ............................ 264
     7.3.1  Система алгебраических уравнений «треугольного
            вида» .............................................. 264
     7.3.2  Преобразование Меллина мономиальной функции
            решений системы уравнений .......................... 265
     7.3.3  Интегральная формула и ряд Тейлора для
            мономиальной функции корней системы уравнений ...... 267
7.4  Преобразование Меллина мономиальных функций решения
     общей полиномиальной системы .............................. 272
     7.4.1  Линеаризация системы (7.4.52) ...................... 273
     7.4.2  Преобразование Меллина алгебраической функции ...... 275
7.5  Система уравнений Меллина и ее монодромия ................. 279
     7.5.1  Порождающие решения и удобные базисы в
            пространстве решений системы Меллина ............... 281
     7.5.2  Связь системы уравнений Меллина с
            А-гипергеометрической системой ..................... 286
     7.5.3  Решения системы Меллина в терминах корней
            алгебраического уравнения .......................... 289
     7.5.4  Одномерный случай .................................. 296

Глава 8. Монодромия гипергеометрических систем с двумя
переменными .................................................... 300
8.1  Обозначения, определения и предварительные сведения ....... 301
8.2  Структура пространства голоморфных решений системы Горна .. 305
     8.2.1  Интегральные представления и вычисление
            многомерных вычетов ................................ 305
     8.2.2  Формулы голономного ранга .......................... 307
     8.2.3  Действие представления монодромии на инвариантном
            подпространстве многочленов Пюизо .................. 309
     8.2.4  Сплетающие операторы для системы уравнений Горна ... 309
8.3  Монодромия симплициальных конфигураций .................... 312
     8.3.1  Симплициальные гипергеометрические конфигурации .... 317
     8.3.2  Гипергеометрические системы уравнений, заданные
            параллелепипедами .................................. 320
8.4  Базисы в пространстве решений гипергеометрических систем .. 321
8.5  Максимально приводимая монодромия ......................... 324

Глава 9. Линейные зануляющие операторы и алгебраические
функции ........................................................ 337
9.1  Дискретная проблема Римана-Гильберта ...................... 337
9.2  Случай трех особенностей. Детские рисунки ................. 340
9.3  Построение явного решения проблемы Римана-Гильберта для
     деревьев .................................................. 341
9.4  Аннулятор отображения, обратного к полиномиальному ........ 343
9.5  Деревья Мёбиуса ........................................... 346
9.6  Деревья не более чем второго порядка ...................... 349
9.7  Зануляющие операторы для решений голономных систем
     дифференциальных уравнений ................................ 351
9.8  Вычисление зануляющего оператора для заданной
     алгебраической функции .................................... 353
9.9  Примеры зануляющих операторов для алгебраических функций .. 356
9.10 Многогранники Ньютона оптимальных зануляющих операторов ... 363
9.11 Время вычисления зануляющих операторов и их свойства ...... 364

Глава 10. Аналитическая сложность голоморфных функций двух
комплексных переменных ......................................... 366
10.1 Основные определения и обозначения ........................ 366
10.2 Классы аналитической сложности ............................ 368
10.3 Связь аналитической сложности многочлена и его носителя ... 371
10.4 Аналитическая сложность дискриминантов .................... 374
10.5 Минимальные дифференциальные многочлены для семейств
     функций двух переменных ................................... 379
10.6 Аналитическая сложность гиперповерхностей ................. 386
10.7 Аналитическая сложность узлов ............................. 387

Список обозначений ............................................. 389
Предметный указатель ........................................... 392
Литература ..................................................... 395