ПРЕДГОВОР ....................................................... 3
I ДЕО
ОБИЧНЕ ДИФЕРЕНЦИJАЛНЕ JЕДНАЧИНЕ ................................ 13
Глава 1.
ОБИЧНЕ ДИФЕРЕНЦИJАЛНЕ JЕДНАЧИНЕ ПРВОГ РЕДА - ИНТЕГРАЦИJА ПРЕКО
КВАДРАТУРА ..................................................... 15
1.1 Дефинициjе ................................................ 15
1.2 Формирање диференциjалних jедначина првог и виших
редова .................................................... 18
1.3 Раздваjање променљивих .................................... 21
1.4 Линеарна диференциjална jедначина првог реда .............. 25
1.5 Бернулиjева диференциjална jедначина првог реда ........... 30
1.6 Рикатиjева диференциjална jедначина ....................... 31
1.7 Jедначина са тоталним диференциjалом ...................... 36
1.8 Jедначина нерешена по у' .................................. 39
1.9 Додатак ................................................... 43
Глава 2.
ЕГЗИСТЕНЦИJА РЕШЕЊА ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА ПРВОГ РЕДА ....... 45
2.1 Егзистенциjа решења ....................................... 45
2.2 Сингуларне тачке .......................................... 51
2.3 Сингуларни интеграл ....................................... 59
Глава 3.
НЕКЕ ПРИБЛИЖНЕ МЕТОДЕ РЕШАВАЊА ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА
ПРВОГ РЕДА ..................................................... 62
3.1 Метода сукцесивних апроксимациjа .......................... 62
3.2 Метода неодређених коефициjeната .......................... 64
3.3 Аналитичка метода ......................................... 65
3.4 Оjлерова метода полигоналних линиjа ....................... 66
3.5 Метода Кута Рунге ......................................... 69
3.6 Адамсова метода ........................................... 71
3.7 Милнова метода ............................................ 71
3.8 Метода Крилова ............................................ 72
3.9 Побољшана Пикарова метода (К. Орлов) ...................... 74
Глава 4.
АЛГЕБАРСКЕ, ТОПОЛОШКЕ И СТРУКТУРЕ ПОРЕТКА ...................... 77
4.1 Увод ...................................................... 77
4.2 Алгебарске структуре ...................................... 79
4.3 Неки основни пojмови из топологиjе ........................ 81
4.4 Тополошки простори ........................................ 83
4.5 Неки nojмови из функционалне анализе. Банахов и
Хилбертов простор ......................................... 93
4.6 Репетиториj неких основних пojмовa из теориjе скупова.
Структуре поретка ......................................... 96
4.7 Диференциjалне jeдначинe у Банаховом простору ............. 98
Глава 5.
ПРИМЕНА ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИJЕ У ТЕОРИJИ ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ
JЕДНАЧИНА ...................................................... 99
Глава 6.
ДИФЕРЕНЦИJАЛНЕ JЕДНАЧИНЕ ВИШЕГ РЕДА ........................... 101
6.1 Егзистенциjа решења ...................................... 101
6.2 Неки jедноставниjи типови jeдначинa коjи се своде на
квадратуре или им се снижава ред ......................... 103
6.3 Линеарна диференциjална jeдначинa n-тог реда ............. 111
6.4 Линеарне jeдначинe са константним коефициjентима ......... 118
6.5 Напомена о интеграциjи помоћу редова ..................... 125
6.6 Неке специjалне диференциjалне jeдначинe ................. 126
Глава 7.
КВАЛИТАТИВНА АНАЛИЗА ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА ВИШЕГ РЕДА ..... 130
7.1 Линеарне jeднaчинe другог реда са осцилаторним
интегралима .............................................. 130
7.2 Графичка интеграциja диференциjалних jeднaчинa другог
реда ..................................................... 133
7.3 Сингуларне тачке линеарне диференциjалне jeдначинe
другог реда .............................................. 134
7.4 Пфафова jeдначинa ........................................ 136
7.5 Контурни проблеми ........................................ 136
7.6 Процена решења диференциjалних jeдначинa и асимптотско
понашање интеграла ....................................... 138
Глава 8.
КОНТУРНИ ПРОБЛЕМИ КОД ОБИЧНИХ ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА ....... 142
8.1 Метода коначних разлика .................................. 143
8.2 Метода колокациjе ........................................ 145
8.3 Метода наjмањих квадрата ................................. 146
8.4 Галеркинова метода ....................................... 147
Глава 9.
КОНТУРНИ ПРОБЛЕМ И ФУНКЦИJА ГРЕНА ............................. 148
Глава 10.
СИСТЕМ ОБИЧНИХ ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА ...................... 150
10.1 Дефинициjе ............................................... 150
10.2 Систем линеарних jедначина ............................... 157
10.3 Систем линеарних хомогених jедначина ca константним
коефициjентима ........................................... 161
10.4 Додатак .................................................. 165
II ДЕО
ПАРЦИJАЛНЕ ДИФЕРЕНЦИJАЛНЕ JЕДНАЧИНЕ ........................... 169
Глава 11.
ПАРЦИJАЛНЕ ДИФЕРЕНЦИJАЛНЕ JЕДНАЧИНЕ ........................... 171
11.1 Дефинициjе ............................................... 171
11.2 Први интеграли ........................................... 174
11.3 Хомогена jедначина ....................................... 175
11.4 Кошиjев проблем за хомогену jедначину .................... 178
11.5 Нехомогена jедначинa ..................................... 181
11.6 Потпуни, општи и сингуларни интеграл ..................... 184
11.7 Лагранж-Шарпиjева метода за налажење потпуног
интеграла ................................................ 186
11.8 Неке специjалне парциjалне jедначине ..................... 192
11.9 Вариjациони рачун ........................................ 198
11.10 Jедна класификациjа неких парциjалних диференциjалних
jедначина ................................................ 203
Глава 12.
ПРИБЛИЖНЕ МЕТОДЕ РЕШАВАЊА КОНТУРНИХ ПРОБЛЕМА ЗА
ДИФЕРЕНЦИJАЛНЕ ПАРЦИJАЛНЕ JЕДНАЧИНЕ ........................... 205
12.1 Решење Дирихлеовог задатка методом мрежа ................. 207
12.2 Метода мреже за jедначинe параболичког типа .............. 209
12.3 Метода мреже за jедначине хиперболичког типа ............. 212
12.4 Метода правих ............................................ 213
Глава 13.
ВАРИJАЦИОНЕ МЕТОДЕ ............................................ 216
13.1 Рицова метода ............................................ 224
Глава 14.
МЕТОДА КАРАКТЕРИСТИКА НУМЕРИЧКОГ РЕШАВАЊА ХИПЕРБОЛИЧКИХ
СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕАРНИХ ПАРЦИJАЛНИХ ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ
JЕДНАЧИНА ..................................................... 227
Глава 15.
МЕШОВИТИ ЗАДАЦИ ............................................... 234
III ДЕО
ИНТЕГРАЛНЕ JЕДНАЧИНЕ .......................................... 247
Глава 16.
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРИJЕ ИНТЕГРАЛНИХ JЕДНАЧИНА ........................ 249
16.1 Фредхолмова jедначина друге врсте са дегенерисаним
jeзгром .................................................. 249
16.2 Фредхолмова алтернатива .................................. 253
16.3 Примена Банахове теореме у теориjи интегралних
jедначина ................................................ 254
Глава 17.
ПРИБЛИЖНО РЕШАВАЊЕ ИНТЕГРАЛНИХ JЕДНАЧИНА ...................... 259
IV ДЕО
КВАЛИТАТИВНА АНАЛИЗА ОБИЧНИХ ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА ........ 265
Глава 18.
КВАЛИТАТИВНА АНАЛИЗА ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА ................ 267
Глава 19.
ЧАПЛИГИНОВА МЕТОДА ............................................ 289
Глава 20.
ПЕТРОВИЋЕВО ДИРЕКТНО ПРОУЧАВАЊЕ РЕШЕЊА ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ
JЕДНАЧИНА ..................................................... 308
Глава 21.
БЕСКОНАЧНА ГРАНИЦА ПРИМЕНЉИВОСТИ НЕКИХ ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ
НЕJЕДНАКОСТИ .................................................. 328
Глава 22.
ПИТАЊЕ ПРИОРИТЕТА КОД НЕКИХ ТОПОЛОШКИХ ПРИНЦИПА ............... 344
Глава 23.
ТОПОЛОШКИ ПРИНЦИП ИСПИТИВАЊА АСИМПТОТСКИ ОГРАНИЧЕНИХ
РЕШЕЊА ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА .............................. 355
23.1 Ретракциjе и ретракти .................................... 355
23.2 Дефинициjе потребне у примени методе Важевског ........... 359
23.3 Теореме Важевског ........................................ 362
23.4 Конструкциjа скупа ω ..................................... 365
Глава 24.
КЛАСИФИКАЦИJА НЕКИХ ДЕФИНИЦИJА СТАБИЛНОСТИ РЕШЕЊА
ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА ..................................... 382
Глава 25.
УВОД У ТЕОРИJУ СТАБИЛНОСТИ .................................... 395
25.1 Кратак историjат стабилности ............................. 395
25.2 Дефинициjе стабилности ................................... 396
25.3 Методе за решавање питања стабилности решења система
диференциjалних jедначина ................................ 400
25.4 Функциjе Љапунова ........................................ 402
25.5 Теореме Љапунова о стабилности кретања - друга
Љапуновљева метода ....................................... 406
25.5.1 Теорема Љапунова о стабилности кретања ............ 406
25.5.2 Теорема Љапунова о асимптотскоj стабилности ....... 408
25.5.3 Теорема Љапунова о нестабилности .................. 410
25.5.4 Теорема Четаева ................................... 410
25.6 Испитивање стабилности по првом приближавању - Прва
Љапуновљева метода ....................................... 411
25.6.1 Теорема Љапунова о стабилности кретања по
првом приближавању ................................ 414
25.6.2 Теорема Љапунова о нестабилности по првом
приближавању ...................................... 419
V ДЕО
ПРИМЕРИ КВАЛИТАТИВНЕ АНАЛИЗЕ ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ JЕДНАЧИНА ........ 427
Глава 26.
РИКАТИJЕВА ДИФЕРЕНЦИJАЛНА JЕДНАЧИНА ........................... 429
Глава 27.
АБЕЛОВА JЕДНАЧИНА ПРВЕ И ДРУГЕ ВРСТЕ И УОПШТЕЊА ............... 448
Глава 28.
КВАЛИТАТИВНА АНАЛИЗА JЕДНЕ УОПШТЕНЕ РИКАТИJЕВЕ JЕДНАЧИНЕ ...... 465
Глава 29.
ЗОНА КВАЛИТАТИВНОГ УТИЦАJА НЕКИХ ФУНКЦИJА ..................... 468
Глава 30.
JЕДНАЧИНА ФАКТОРИЗОВАНЕ ДЕСНЕ СТРАНЕ .......................... 472
Глава 31.
БЕСКОНАЧНА РЕШЕЊА НЕКИХ JЕДНАЧИНА СА ОГРАНИЧЕНИМ
КОЕФИЦИJЕНТИМА ................................................ 477
Глава 32.
ГЕНЕРАЛИСАНА "ХЕМИJСКА JЕДНАЧИНА" ............................. 481
Глава 33.
ПРИМЕРИ ЗА НЕКЕ ВРСТЕ СТАБИЛНОСТИ РЕШЕЊА ДИФЕРЕНЦИJАЛНИХ
JЕДНАЧИНА ..................................................... 484
Глава 34.
ОПШТЕ РЕШЕЊЕ КАО ФУНКЦИJА ПРОИЗВОЉНЕ КОНСТАНТЕ ................ 488
Глава 35.
ПРИМЕРИ ПРИМЕНЕ ЧАПЛИГИНОВИХ НЕJЕДНАКОСТИ ..................... 493
ДОПУНСКИ ПОДАЦИ О ЛИТЕРАТУРИ .................................. 502
|
