VORWORT ZU BAND III ............................................. V
BEWEGUNG DER NATÜRLICHEN UND KÜNSTLICHEN HIMMELSKÖRPER .......... 1
10 DIE SPEZIELLE KEPLERBEWEGVNG .............................. 3
10.1 Das inverse Keplersche Problem ............................ 3
10.1.1 Anmerkungen zur Hermanmchen Lösung ................ 3
10.1.2 Anmerkungen zur allgemeinen Keplerbewegung ........ 5
10.1.3 Die Keplersche Umlaufzeit ......................... 7
10.1.4 Genäherte Lösung des Zeitintegrals ................ 8
10.1.5 Die Gaußsche Gravitationskonstante ................ 8
10.2 Das Zweikörperproblem .................................... 10
10.2.1 Relative Zweikörperbewegung ...................... 10
10.2.1.1 Der Schwerpunktsatz .................... 12
10.2.1.2 Absolute Zweikörperbewegung ............ 14
10.2.2 Die absolute Zweikörperbewegung um den
gemeinsamen Schwerpunkt .......................... 14
10.2.3 Reihenentwicklungen im Zweikörperproblem ......... 17
10.3 Anwendungen der Zweikörperbewegung in der
Satellitenbahnmechanik ................................... 25
10.4 Das Dreikörperproblem .................................... 29
10.4.1 Die Basisgleichungen ............................. 29
10.4.2 Die relative Dreikörperbewegung .................. 30
10.4.3 Die allgemeinen Integrale des
Dreikörperproblems ............................... 31
10.4.4 Die absol ute Dreikörperbewegung ................. 32
10.5 Die exakten Lösungen des Dreikörperproblems .............. 34
10.5.1 Die kollineare exakte Lösung des
Dreikörperproblems ............................... 34
10.5.1.1 Das Polynom 5. Grades .................. 34
10.5.1.2 Die Bewegungsgleichungen im Fall der
kollinearen Punkte bei
Relativbewegung ........................ 42
10.5.1.3 Der Fall der kollinearen Punkte bei
absoluter Bewegung ..................... 47
10.5.2 Die äquidistante exakte Lösung des
Dreikörperproblems ............................... 52
10.5.2.1 Relativbewegung im Fall der
äquidistanten Punkte ................... 52
10.5.2.2 Absolute Bewegung um den Schwerpunkt
im Fall der äquidistanten Punkte ....... 55
10.6 Weiterführende Literatur zu Problemen des
Dreikörperproblems ....................................... 59
11 BEWEGUNGSPARAMETER ....................................... 61
11.1 Keplerelemente ........................................... 62
11.1.1 Berechnung der Keplerelemente aus dem
Zustandsvektor ................................... 62
11.1.2 Berechnung des Zustandsvektors aus den
Keplerelementen .................................. 65
11.1.3 Berechnung einer elliptischen Keplerbahn aus
Randwerten ....................................... 66
11.1.3.1 Das Sektor zu Dreiecksverhältnis ....... 66
11.1.3.2 Berechnung der Keplerelemente bei
bekanntem Kegelschnittparameter ........ 69
11.1.3.3 Eine Modifikation mit Hilfe des
Mertonschen Vektors .................... 72
11.1.4 Berechnung des Zustandsvektors aus Randwerten .... 72
11.1.5 Die Gaußschen Variationsgleichungen in
den Keplerelementen .............................. 73
11.1.6 Entwicklung nach tangentialen Komponenten ........ 77
11.1.7 Die Lagrangeschen Variationsgleichungen in den
Keplerelementen .................................. 79
11.2 Lagrange - Elemente ...................................... 79
11.2.1 Definition der Lagrange-Elemente ................. 80
11.2.2 Berechnung der Lagrange-Elemente aus dem
Zustandsvektor ................................... 81
11.2.3 Berechnung des Zustandsvektors aus Lagrange-
Elementen ........................................ 86
11.2.4 Die Gaußschen Variationsgleichungen der
Lagrangeschen Elemente ........................... 89
11.3 Äquinoktiale Elemente .................................... 92
11.4 Reguläre Elemente ........................................ 94
11.4.1 Definition der regulären Elemente ................ 94
11.4.2 Berechnung der Keplerelemente aus den regulären
Elementen ........................................ 96
11.4.3 Berechnung der regulären Elemente aus dem
Zustandsvektor ................................... 96
11.4.4 Berechnung des Zustandsvektors aus den regulären
Elementen ........................................ 99
11.4.5 Die Gaußschen Variationsgleichungen der
regulären Elemente .............................. 101
11.5 Geostationäre Elemente .................................. 104
11.6 Positionselemente ....................................... 104
11.6.1 Definition der Positionselemente ................ 104
11.6.2 Berechnung des Zustandsvektors aus den
Positionselementen .............................. 107
11.6.3 Berechnung der Positionselemente aus dem
Zustandsvektor .................................. 107
11 6.4 Die Gaußschen Variationsgleichungen der
Positionselemente ............................... 109
11.7 Parameter im Apsidensystem .............................. 109
11.7.1 Definition der Bahnparameter nach Herrick ....... 110
11.7.2 Die Variationsgleichungen der Parameter im
Apsidensystem ................................... 112
11.8 Ideale Elemente ......................................... 114
11.8.1 Definition der idealen Elemente ................. 114
11.8.2 Berechnung der idealen Elemente aus dem
Zustandsvektor .................................. 119
11.8.3 Berechnung des Zustandsvektors aus den idealen
Elementen ....................................... 122
11.8.4 Die Gaußschen Variationsgleichungen der
idealen Elemente ................................ 124
11.9 Kanonische Elemente ..................................... 128
11.9.1 Kanonische Variable ............................. 128
11.9.2 Kanonische Darstellung einer "gestörten"
Keplerbewegung .................................. 129
11.9.3 Kanonische Transformationen ..................... 129
11.9.4 Die erzeugende Funktion ......................... 132
11.9.5 Delaunay - Elemente ............................. 132
11.9.6 Poincaré - Elemente ............................. 133
11.9.7 Hillsche - Variable ............................. 134
11.10 Lyddane Elemente ........................................ 135
11.11 Parameter der geradlinigen Bewegung ..................... 136
11.11.1 Parameter der geradlinigen Bewegung in Bezug
auf ein Hansen - System ......................... 137
11.11.1.1 Die Parameter der Bahnkurve in der
oskulierenden Bahnebene ............... 137
11.11.1.2 Die Parameter einer Bewegung im
Rahmen des Formalismus der
geradlinigen Bewegung ................. 139
11.11.1.3 Die Parameter der räumlichen
Orientierung einer Bahnebene im
Rahmen des Formalismus der
geradlinigen Bewegung ................. 139
11.11.2 Berechnung der Parameter der geradlinigen
Bewegung aus dem Zustandsvektor ................. 141
11.11.3 Berechnung des Zustandsvektors aus Parametern
der geradlinigen Bewegung ....................... 142
11.11.4 Variationsgleichungen im Formalismus der
geradlinigen Bewegung ........................... 143
11.12 Die Parameter in einem Anpassungs-Formalismus bei
beliebigen Bewegungen ................................... 146
11.13 Transformationen der Zeit ............................... 146
12 NATÜRLICHE UND GESTEUERTE BEWEGUNGSÄNDERUNGEN ........... 149
12.1 Das Geschwindigkeitsinkrement ........................... 149
12.2 Kleine Änderungen des Geschwindigkeitsvektors ........... 151
12.3 Änderungen der Bahnebene ................................ 153
12.3.1 Knotenänderung .................................. 154
12.3.2 Inklinationsänderung im Knoten für
kreisnahe Bahnen: ............................... 156
12.3.3 Kleine Knotenänderungen ......................... 156
12.3.4 Richtung des Schubvektors bei Bahndrehung ohne
Änderung der Bahnform ........................... 157
12.4 Änderungen der Bahnform ............................ 158
12.4.1 Ein-Impuls-Manöver auf Zielbahn ................. 158
12.4.2 Bahnmanöver mit vorgegebener Drehung der
Apsidenlinie .................................... 168
12.4.3 Hohmann Übergänge ............................... 171
12.4.4 Kleine Änderungen der Bahnform .................. 179
12.4.5 Kleine Positionsänderungen längs der Bahn ....... 180
12.4.6 Abschätzung eines Längenfehlers in der Bahn ..... 182
12.4.7 Beliebige Zwei-Impuls-Übergangsbahnen ........... 184
12.4.8 Gravitationsverluste bei nichtimpulsförmigen
Manövern ........................................ 189
12.5 Die hyperbolische Bewegung .............................. 190
12.5.1 Bahnparameter der hyperbolischen Bewegung ....... 190
12.5.2 Der Kollisionskorridor .......................... 194
12.5.3 Der Umlenkwinkel ................................ 194
12.5.4 Anmerkungen zur hyperbolischen Bewegung ......... 195
12.6 Bewegung im Sonnensystem - Erste Abschätzungen .......... 200
12.6.1 Abflug von der Erde im Sonnensystem ............. 200
12.7 "Paradoxa" in der Raumfahrt ............................. 203
12.7.1 Das Keplersche Paradoxon ........................ 203
12.7.2 Das von Pirquetsche Paradoxon ................... 204
12.7.3 Das Hohmannsche Paradoxon ....................... 205
12.8 Auswahl von Einflussbereichen ........................... 210
12.8.1 Die Attraktionssphäre ........................... 211
12.8.2 Der Aktivitätsbereich ........................... 215
12.8.3 Der Gravitationsbereich ......................... 218
Gravitationsmanöver ..................................... 219
12.8 Die Raketengleichung .................................... 226
12.8.1 Herleitung der Raketengleichung ................. 226
12.8.2 Anwendungen der Raketengleichung ................ 228
12.8.2.1 Die Raketenmotor - Strukturmasse ...... 228
12.8.2.2 Die Treibstoffmasse bei gewünschtem
Geschwindigkeitsbedarf ................ 229
12.8.2.3 Das Mehrstufenprinzip ................. 230
12.8.2.4 Aufstieg einer Rakete ................. 230
13 KEPLERBEWEGUNG IN UNIVERSALER DARSTELLUNG ............... 232
13.1 Ephemeridenrechnung als Anfangswertproblem .............. 232
13.2 Regularisierung mit der Sundmannscheh Variablen ......... 235
13.3 Die Stumpffschen Funktionen ............................. 238
13.4 Ungestörte Zweikörperbewegung in universaler
Darstellung ............................................. 240
13.5 Gestörte Zweikörperbewegung in universaler
Darstellung ............................................. 242
14 PARAMETERRAUME .......................................... 254
14.1 Parameterraum der elliptischen Keplerbewegung ........... 254
14.2 Parameterräume der Bahnparameter ........................ 255
14.3 Hodograph ............................................... 256
14.3.1 Der Hodograph eines Kegelschnitts ............... 256
14.3.2 Ebener Transfer von einer Kreisbahn in eine
Kegelschnittbahn ................................ 259
14.3.3 Ebener Transfer zwischen Kegelschnittbahnen ..... 262
14.4 Levi-Civitä Parameterraum ............................... 264
14.4.1 Herleitung aus der Identität von Vieta .......... 265
14.4.2 Mathematische Eigenschaften der Levi-Civitä-
Transformation .................................. 266
14.4.3 Zweiter Schritt einer Regularisierung und
Linearisierung .................................. 268
14.4.4 Regularisierung der gestörten
Zweikörperbewegung .............................. 271
14.5 KS-Parameterraum ........................................ 272
14.6 quaternionen räume ...................................... 274
14.7 Phasenräume ............................................. 274
15 PARTIAL- UND VARIATIONSAUSDRÜCKE ........................ 276
15.1 Anmerkung zur Schreibweise der Partialausdrücke ......... 276
15.2 Differentielle Beziehungen der Anomalien ................ 279
15.2.1 Variationen von v nach e und E .................. 279
15.2.2 Variationen von E nach e und v .................. 279
15.2.3 Variationen von E nach e und M .................. 280
15.2.4 Variationen von M nach e und E .................. 280
15.2.5 Variation der mittleren Anomalie nach
Anfangswerten ................................... 281
15.2.6 Variationen von v nach e und M .................. 281
15.2.7 Variationen von M nach e und v .................. 282
15.2.8 Variationen der Exzentrizität e nach den
Anomalien ....................................... 283
15.2.9 Variationen von (e cos v, e sin v) nach
(e cos E, e cos E) .............................. 283
15.2.10 Variationen von v und e nach (e sin v),
(e cos v) ....................................... 286
15.2.11 Variationen von (e cos E, e sin E) nach
(e sin M) und (e cos M) ......................... 287
15.2.12 Variationen von (e cosv, e sin v) nach (e sin M)
und (e cos M) ................................... 290
15.2.13 Variationen von (e sin M) und (e cos M) nach e,
v und M ......................................... 293
15.2.14 Variationen des Argumentes der Breite ........... 296
15.3 Variationen des Bahnradius der elliptischen Bewegung .... 296
15.4 Variationen der radialen Geschwindigkeit ................ 301
15.5 Variationen des Flächenparameters ....................... 305
15.6 Weitere Variationen der wahren Anomalie ................. 308
15.7 Variationen der transversalen Geschwindigkeit ........... 312
15.8 Variationen nach Lyddane Elementen ...................... 317
15.8.1 Variationen der Positionselemente nach Lyddane
Elementen ....................................... 317
15.8.2 Variationen des Argumentes der Breite nach
Lyddane Elementen ............................... 325
15.8.3 Variationen der wahren Länge nach Lyddane
Elementen ....................................... 326
15.9 Die Transitions-Matrix .................................. 327
15.10 Partialausdrücke in Hansen-Systemen ..................... 330
15.10.1 Transformation in ein Basissystem ............... 330
15.10.2 Variationen in der Darstellung einer
geradlinigen Bewegung ........................... 334
15.10.3 Variationen einer auf ein Hansen-System
bezogenen Kepler-Bewegung ....................... 337
15.11 Anmerkungen zu den Anwendungen der Partialausdrücke ..... 341
16 ÜBERBLICK BAHNBESTIMMUNG ................................ 342
16.1 Methoden der Erstbahnbestimmung ......................... 343
16.1.1 Prinzipien der Verfahren von Laplace und Gauß ... 343
16.1.2 Bahnbestimmung aus Winkelmessungen .............. 347
16.1.3 Über die Bahnbestimmung nach Kustaanheimo ....... 347
16.1.4 Bahnbestimmung aus Winkel- und
Entfernungsmessungen ............................ 353
16.1.4.1 Alternative Berechnung des
Kegelschnittparameters ................ 354
16.1.4.2 Berechnimg des
Geschwindigkeitsvektors nach
Herrick-Gibbs ......................... 355
16.1.5 Bahnbestimmung aus Winkel- und
Entfernungsänderungsmessungen ................... 356
16.1.5.1 Modifikation der Erstbahnbestimmung
nach Laplace .......................... 356
16.1.5.2 Modifikation des Verfahrens mit
Stumpffschen Funktionen ............... 358
16.1.6 Bahnbestimmung aus Entfernungs- und
Entfernungsänderungsmessungen ................... 361
16.1.7 Satellite Laser Ranging ......................... 361
16.1.8 Ortsbestimmung mit Hilfe eines GNSS Systems ..... 361
16.2 Bahn-Verbesserung ....................................... 363
16.2.1 Methode der kleinsten Quadrate .................. 364
16.2.2 Filtermethoden .................................. 364
17 BEWEGUNGSEINFLÜSSE ...................................... 367
17.1 Die Keplerbeschleunigung ................................ 368
17.2 Das Gravitationspotential ............................... 369
17.2.1 Das Gravitationsfeld, Begriffe und
grundlegende Formeln ............................ 369
17.2.2 Beschleunigungen durch das Gravitationsfeld ..... 373
17.2.3 Aufbereitung des Gravitationspotentials für
eine numerische Integration ..................... 377
17.2.4 Das Gravitationspotential der Erde .............. 378
17.2.5 Das Gravitationspotential des Erdmondes ......... 380
17.2.6 Das Gravitationspotential des Mars .............. 380
17.2.7 Das Gravitationspotential des Jupiter ........... 381
17.2.8 Das Gravitationspotential des Saturn ............ 381
17.2.9 Das Gravitationspotential des Uranus ............ 381
17.2.10 Das Gravitationspotential des Neptun ............ 381
17.3 Luftwiderstand .......................................... 382
17.3.1 Der Luftwiderstand .............................. 382
17.3.2 Die säkulare Variation der großen
Bahnhalbachse kreisnaher Bahnen ................. 387
17.3.3 Lebensdauer ..................................... 388
17.4 Anziehung durch dritte Körper ........................... 391
17.5 Strahlungsdruck der Sonne ............................... 392
17.6 Strahlungsdruck reflektiert von der Erde ................ 396
17.7 Strahlungsdruck reflektiert vom Mond .................... 397
17.8 Wärmeabstrahlung der Erde ............................... 397
17.9 Einfluss des Sonnenwindes ............................... 397
17.10 Relativistischer Effekt erster Ordnung .................. 398
17.11 Gezeiten ................................................ 398
17.12 Wechselwirkung des Mondes mit Abplattung der Erde ....... 399
17.13 Yarkowski-Effekt ........................................ 400
17.14 Poynting-Robertson-Effekt ............................... 400
17.15 Künstliche Schubkräfte .................................. 401
17.16 Lageregelungseinflüsse .................................. 401
17.17 Antennenabstrahlung ..................................... 401
17.18 Wärmeabstrahlung eines Raumflugkörpers .................. 402
17.19 Resonanzen und Kommensurabilitäten ...................... 402
17.20 Weitere physikalische Bewegungseinflüsse ................ 403
18 ZUR INTEGRATION DER BEWEGUNGSGLEICHUNGEN ................ 404
18.1 Zur Unterscheidung analytischer und numerischer
Verfahren ............................................... 404
18.2 Methode von Encke ....................................... 407
18.3 Numerische Methoden (Cowell und andere) ................. 409
19 ANALYTISCHE STÖRUNGSTHEORIE PERIODISCHER
BEWEGUNGEN .............................................. 411
19.1 Die Mittelwertmethode ................................... 411
19.1.1 Das (mathematische) Störproblem ................. 411
19.1.2 Quasiperiodische Funktionen ..................... 412
19.1.3 Die Elementtransformation ....................... 412
19.1.4 Fastidentische Transformationen ................. 413
19.2 Anwendungen der Mittelwertmethode ....................... 413
19.2.1 Der Bewegungswinkel ............................. 413
19.3 Mittelung über die mittlere Anomalie .................... 415
19.4 Mittlere und Gemittelte Elemente ........................ 417
19.4.1 Mittelung ohne gegebenes Bahnmodell ............. 417
19.4.2 Mittlere Elemente bei gegebenem analytischem
Bahnmodell ...................................... 418
19.4.2.1 Verfahren von Eckstein ................ 418
19.4.2.2 Verfahren von Walter .................. 419
19.4.2.3 Verfahren von Gordon .................. 420
20 EINIGE ERGEBNISSE ANALYTISCHER SATELLITENBAHNTHEORIEN ... 423
20.1 Zerlegung von Bahnelementen nach Einflussanteilen ....... 423
20.2 Bewegungseinflüsse durch das Gravitationsfeld
eines Zentralkörpers .................................... 427
20.2.1 Mittlere Keplerelemente ......................... 428
20.2.2 Langperiodische Einflussterme erster Ordnung
der Keplerelemente .............................. 430
20.2.3 Kurzperiodische Einflussterme erster Ordnung
der Keplerelemente .............................. 436
20.2.4 Weitere Bahnparameter ........................... 442
20.2.4.1 Exzentrische Anomalie E ............... 443
20.2.4.2 Wahre Anomalie ........................ 446
20.2.4.3 Argument der Breite ................... 448
20.2.4.4 Mittleres Argument der Breite M+ ω .... 450
20.2.4.5 Länge des Perizentrums ω .............. 453
20.2.4.6 Die mittlere Länge L .................. 455
20.2.4.7 Exzentrische Länge LE ................. 456
20.2.4.8 Wahre Länge l ......................... 459
20.2.4.9 Die Größen e sin M, e cos M ........... 461
20.2.4.10 Die Größen e sin ω, e cos ω ........... 463
20.2.4.11 Parameter der elliptischen
Bewegung p ............................ 465
20.2.4.12 Flächenparameter G .................... 466
20.2.4.13 Bahnradius r .......................... 468
20.2.4.14 Radiale Geschwindigkeitskomponente
VR .................................... 469
20.2.4.15 Transversale
Geschwindigkeitskomponente VT ......... 470
20.2.4.16 Geschwindigkeit in der Bahn V ......... 471
20.2.4.17 Positionselemente PS und PC ........... 473
20.3 Bewegungseinflüsse durch den Strahlungsdruck ............ 475
20.3.1 Beispiel einer konstanten radialen
Schubbeschleunigung ............................. 475
20.3.2 Beispiel einer interplanetaren Sonnensegelbahn
mit transversalem und normalem Schub ............ 491
SCHRIFTTUM ZU BAND III ........................................ 513
LISTE DER VERWENDETEN SYMBOLE ................................. 531
Lateinische Symbole ..................................... 531
Griechische Symbole ..................................... 544
Mathematische Symbole ................................... 554
Astronomische Symbole ................................... 556
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ......................................... 559
TABELLENVERZEICHNIS ........................................... 565
INDEX ......................................................... 567
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