Предисловие ..................................................... 7

1    Основные понятия и определения ............................ 15
1.1  Сетка, ячейки сетки ....................................... 15
     1.1.1  Эталонные ячейки ................................... 15
     1.1.2  Ячейки сетки ....................................... 16
     1.1.3  Требования к сеткам ................................ 17
1.2  Математические модели построения сеток .................... 22
     1.2.1  Требования к математическим моделям и
            компьютерным программам ............................ 22
     1.2.2  Методы отображений ................................. 22
     1.2.3  Методы построения неструктурных сеток .............. 28
     1.2.4  Блочная стратегия .................................. 30
1.3  Автоматизированные программы .............................. 34
1.4  Упражнения ................................................ 36

2    Координатные преобразования ............................... 37
2.1  Введение .................................................. 37
2.2  Общие понятия и соотношения ............................... 38
     2.2.1  Матрица Якоби ...................................... 38
     2.2.2  Касательные векторы ................................ 39
     2.2.3  Нормальные векторы ................................. 41
     2.2.4  Меры деформации ячеек координатных сеток ........... 42
     2.2.5  Дифференцирование якобиана ......................... 45
     2.2.6  Дифференцирование элементов обратной матрицы ....... 46
     2.2.7  Базисное тождество ................................. 46
     2.2.8  Выражение для производных в новых координатах ...... 47
2.3  Законы сохранения ......................................... 48
     2.3.1  Скалярные законы сохранения ........................ 48
     2.3.2  Векторные законы сохранения ........................ 50
2.4  Преобразования, зависящие от времени ...................... 54
     2.4.1  Переформулировка преобразований .................... 54
     2.4.2  Базисные соотношения ............................... 55
     2.4.3  Уравнения в форме скалярных законов сохранения ..... 57
     2.4.4  Уравнения в форме векторных законов сохранения ..... 60
2.5  Упражнения ................................................ 64

3    Алгебраические методы ..................................... 65
3.1  Методы трансфинитной интерполяции ......................... 65
     3.1.1  Одномерные преобразования .......................... 66
     3.1.2  Двумерные преобразования ........................... 66
     3.1.3  Трехмерные преобразования .......................... 67
     3.1.4  Лагранжевы и эрмитовы интерполяции ................. 72
     3.1.5  Параметризация ячеек ............................... 76
     3.1.6  Трансфинитная интерполяция для произвольных
            вычислительных областей ............................ 77
3.2  Адаптация в алгебраических методах ........................ 78
     3.2.1  Базисные преобразования ............................ 81
     3.2.2  Конструирование одномерных преобразований
            для сгущения сетки возле произвольных точек ........ 86

4    Эллиптические методы для областей ......................... 89
4.1  Общие уравнения ........................................... 90
4.2  Уравнения для построения фиксированных сеток .............. 91
     4.2.1  Системы Лапласа .................................... 91
     4.2.2  Уравнения для построения сеток, близких к
            ортогональным ...................................... 95
4.3  Уравнения для построения адаптивных сеток ................. 96
     4.3.1  Системы Пуассона ................................... 96
     4.3.2  Уравнения для построения адаптивных и близких
            к ортогональным сеток .............................. 98
     4.3.3  Уравнения диффузии ................................. 98
     4.3.4  Уравнения Бельтрами ................................ 99
     4.3.5  Обращенные уравнения Бельтрами .................... 105
4.4  Вычислительные алгоритмы ................................. 113
     4.4.1  Итерационный метод конечных разностей ............. 113
     4.4.2  Метод спектральных элементов ...................... 117
     4.4.3  Метод конечных элементов .......................... 119
     4.4.4  Метод обращения матрицы ........................... 120
4.5  Упражнения ............................................... 122

5    Математическая модель для произвольных геометрий ......... 123
5.1  Многомерные поверхности .................................. 123
     5.1.1  Параметризация, касательные векторы, метрические
            элементы .......................................... 123
     5.1.2  Гиперповерхности и базисные нормальные векторы .... 124
     5.1.3  Нормальный вектор гиперповерхности ................ 126
     5.1.4  Средняя кривизна гиперповерхности ................. 127
     5.1.5  Мониторные поверхности ............................ 128
     5.1.6  Первый и второй инварианты Бельтрами .............. 130
     5.1.7  Символы Кристоффеля для n-мерных поверхностей ..... 131
5.2  Построение сеток на многомерных поверхностях ............. 136
     5.2.1  Промежуточные преобразования ...................... 136
     5.2.2  Формула, связывающая меру сгущения сетки,
            среднюю кривизну и инвариант Бельтрами ............ 138
     5.2.3  Управляющая метрика ............................... 141
     5.2.4  Уравнения Бельтрами и диффузии .................... 142
     5.2.5  Обращенные уравнения Бельтрами и диффузии ......... 143
     5.2.6  Формулы управляющих метрик ........................ 144
5.3  Вычислительные алгоритмы ................................. 146
5.4  Упражнения ............................................... 148

6    Вариационные методы ...................................... 149
6.1  Вариационный принцип для построения сеток ................ 149
     6.1.1  Формулировка функционалов ......................... 149
     6.1.2  Уравнения Эйлера - Лагранжа ....................... 151
     6.1.3  Условие выпуклости ................................ 153
     6.1.4  Функционалы энергии для построения сеток .......... 153
     6.1.5  Функционал диффузии для преобразований (6.3) ...... 159
     6.1.6  Функционалы, определяемые метрическим тензором .... 161
     6.1.7  Функционалы, определяемые инвариантами ............ 163
     6.1.8  Комбинированные функционалы ....................... 164
6.2  Минимизация дискретного обращенного функционала энергии .. 164
     6.2.1  Аппроксимация функционала ......................... 165
     6.2.2  Итерационный алгоритм ............................. 166
6.3  Упражнения ............................................... 168

7    Управление свойствами сеток .............................. 169
7.1  Построение сеток, адаптирующихся к значениям функции ..... 169
     7.1.1  Управляющая метрика ............................... 169
     7.1.2  Построение сеток в Sxn со сгущением в
            окрестности изолированных точек ................... 172
     7.1.3  Построение сеток со сгущением в окрестности
            кривых и поверхностей ............................. 177
     7.1.4  Построение сеток в трехмерных областях со
            сгущением в окрестности кривых .................... 179
7.2  Построение сеток, адаптирующихся к градиенту функции ..... 181
     7.2.1  Метрика мониторной поверхности .................... 181
     7.2.2  Сферическая управляющая метрика ................... 183
7.3  Построение сеток, согласованных с векторными полями ...... 184
7.4  Построение сбалансированных сеток ........................ 187
7.5  Упражнения ............................................... 188

8    Методы построения неструктурных сеток .................... 189
8.1  Триангуляция Делоне ...................................... 190
     8.1.1  Двумерные подходы ................................. 190
     8.1.2  Триангуляция Делоне для поверхности ............... 194
     8.1.3  Трехмерная триангуляция Делоне .................... 194
8.2  Фронтальный подход ....................................... 194
8.3  Метод восьмеричного дерева ............................... 195
8.4  Сквозной метод построения сеток .......................... 195
     8.4.1  Формулировка метода ............................... 196
     8.4.2  Триангуляция границы .............................. 199
     8.4.3  Выделение граничных ячеек ......................... 200
     8.4.4  Алгоритм выделения ячеек в области ................ 201
     8.4.5  Адаптация сетки ................................... 201

Список литературы ............................................. 203