Предисловие ..................................................... 9
Введение ....................................................... 25
Что понимают под фазовым пространством непрерывной
стохастической динамической системы ....................... 25
Коротко о развитии общей теории устойчивости по Ляпунову
решений систем детерминированных дифференциальных
уравнений ................................................. 26
Коротко о развитии общей теории устойчивости по Ляпунову
решений систем стохастических дифференциальных уравнений .. 29
Связь между устойчивостью с вероятностью 1 и
устойчивостью в среднем квадратичном: иллюстративные
примеры ................................................... 35
Линейные и специальные квазилинейные и существенно
нелинейные системы стохастических дифференциальных
уравнений со стационарными белыми шумами в коэффициентах .. 42
Глава 0. МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СИЛЬВЕСТРА ......... 49
0.1 Определение, история, классификация, применение ........... 49
0.2 Условия разрешимости ...................................... 59
0.2.1 Ранговый критерий разрешимости ..................... 59
0.2.2 Теория возмущений для уравнения Сильвестра ......... 61
0.2.3 Спектральный критерий разрешимости ................. 62
0.2.4 Аналитическое решение некоторых двухчленных
матричных алгебраических уравнений ................. 64
0.3 Другие линейные матричные алгебраические уравнения,
внешне похожие на двухчленные уравнения Сильвестра ........ 69
Глава 1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЕЛЫМ
ШУМОМ В КОЭФФИЦИЕНТАХ .......................................... 71
1.1 Векторно-матричная система линейных дифференциальных
уравнений со скалярным белым шумом ........................ 72
1.1.1 Постановка задачи и возможные подходы к ее
решению ............................................ 72
1.1.2 Непосредственное интегрирование системы
стохастических дифференциальных уравнений Ито
(1.3) .............................................. 77
1.1.3 Дифференциальное уравнение для матрицы вторых
вероятностных моментов решения системы (1.3) и
его анализ ......................................... 79
1.1.4 Стохастическая функция Ляпунова (СФЛ) и
коэффициентный критерий асимптотической
устойчивости в среднем квадратичном в терминах
матричного уравнения Сильвестра .................... 82
1.1.5 Эффект скалярного коэффициентного белого шума в
системе (1.2) - только дестабилизирующий в
среднем квадратичном ............................... 87
1.1.6 Достаточные коэффициентные условия
асимптотической устойчивости в среднем
квадратичном ....................................... 89
1.1.7 Иллюстративные примеры к теоремам 1.4 - 1.7 ........ 91
1.1.8 Коэффициентные критерий и достаточные условия
экспоненциальной устойчивости в среднем
квадратичном с фиксированным показателем
экспоненты ......................................... 96
1.1.9 Ограниченность в среднем квадратичном (пребывание
в эллипсоиде) решений x(t) ......................... 97
1.1.10 Системы линейных стохастических дифференциальных
уравнений, не разрешенные относительно
производных ........................................ 99
1.1.11 Иллюстративный пример к теоремам 1.11 - 1.14 ...... 105
1.1.12 Сингулярно вырождающиеся по части фазовых
переменных системы ................................ 106
1.1.13 Обобщение на счетные системы линейных
стохастических дифференциальных уравнений ......... 106
1.2 Векторный белый шум ...................................... 111
1.2.1 Постановка задачи ................................. 112
1.2.2 Непосредственное интегрирование системы
стохастических дифференциальных уравнений Ито
(1.88) ............................................ 113
1.2.3 Дифференциальное уравнение для матрицы вторых
вероятностных моментов решения системы (1.88) ..... 114
1.2.4 Стохастическая функция Ляпунова и коэффициентный
критерий асимптотической устойчивости в среднем
квадратичном в терминах матричного уравнения
Сильвестра ........................................ 116
1.2.5 Эффект векторного коэффициентного белого шума в
системе (1.87) - только дестабилизирующий в
среднем квадратичном .............................. 116
1.2.6 Достаточные коэффициентные условия
асимптотической устойчивости в среднем
квадратичном ...................................... 118
1.2.7 Экспоненциальная устойчивость в среднем
квадратичном с фиксированным показателем
экспоненты ........................................ 119
1.2.8 Счётная система стохастических уравнений .......... 120
Глава 2 СИСТЕМЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С БЕЛЫМ ШУМОМ В КОЭФФИЦИЕНТАХ ... 121
2.1 Векторно-матричная система дифференциальных уравнений
Лурье-Постникова со скалярным белым шумом в
коэффициентах линейной части ............................. 122
2.1.1 Постановка задачи об абсолютной (по
нелинейности) устойчивости в среднем
квадратичном ...................................... 122
2.1.2 Краткий обзор результатов исследования
абсолютной устойчивости решений системы
детерминированных дифференциальных уравнений
(2.1) ............................................. 125
2.1.3 Библиография исследований абсолютной
устойчивости в среднем квадратичном решений
системы стохастических дифференциальных
уравнений (2.3) ................................... 131
2.1.4 СФЛ и коэффициентный критерий абсолютной (по
нелинейности) асимптотической устойчивости в
среднем квадратичном решений систем
стохастических дифференциальных уравнений (2.3) ... 131
2.1.5 Эффект скалярного коэффициентного белого шума
в системе квазилинейных дифференциальных
уравнений (2.2) — исключительно
дестабилизирующий в среднем квадратичном .......... 141
2.2 Случай векторного коэффициентного белого шума ............ 142
Глава 3 СИСТЕМЫ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С БЕЛЫМ ШУМОМ В КОЭФФИЦИЕНТАХ ....................... 145
3.1 Постановка задачи Скалярный белый шум ................... 146
3.2 Основной результат ....................................... 148
3.2.1 Коэффициентный критерий асимптотической
устойчивости в среднем квадратичном ............... 148
3.2.2 Эффект скалярного белого шума в системе (3.2) ..... ---
только дестабилизирующей в среднем квадратичном ... 150
3.2.3 Коэффициентный критерий экспоненциальной
устойчивости в среднем квадратичном с
фиксированным показателем экспоненты .............. 150
3.3 Обобщение на системы дифференциальных уравнений с
векторным белым шумом .................................... 153
3.4 Следствие для системы существенно нелинейных
детерминированных дифференциальных уравнений (3.1) ....... 155
Глава 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ЦВЕТНЫМ ШУМОМ В КОЭФФИЦИЕНТАХ ................................. 157
4.1 Введение ................................................. 158
4.2 Постановка задачи ........................................ 161
4.3 Формирующий фильтр и расширенная (n + m*)-мерная
система квазилинейных стохастических дифференциальных
уравнений с аддитивным белым шумом ....................... 164
4.4 Система стохастических дифференциальных уравнений
Ито, эквивалентная системе (4.2), (4.10), (4.11) ......... 168
4.5 Дифференциальные уравнения для вероятностных моментов
первого и второго порядков решения системы (4.12) ........ 169
4.6 Анализ уравнений для вероятностных моментов .............. 181
4.7 Модели замыкания дифференциальных уравнений для
вероятностных моментов второго порядка ................... 181
4.7.1 Гауссова модель ................................... 182
4.7.2 Модель с линеаризованной корреляцией между
входным параметрическим возмущением η (входом)
и реакцией х на него системы уравнений (выходом) .. 184
4.7.3 Квазигауссова модель .............................. 185
4.7.4 Модель, использующая кумулянты .................... 186
4.7.5 Модель, использующая установившиеся значения
вероятностных моментов третьего порядка ........... 186
4.7.6 Модель замыкания моментных уравнений,
использующая разложение плотности распределения
вероятностей в ряд по полиномам Чебышева-Эрмита ... 187
4.8 Замкнутая (гауссовой моделью замыкания) система
дифференциальных уравнений для первых двух
вероятностных моментов и пути анализа устойчивости её
решений .................................................. 188
4.8.1 Упрощение замкнутой системы уравнений (4.34) ...... 190
4.8.2 Стационарные точки упрощенной системы моментных
уравнений (4.36) .................................. 191
4.8.3 Линеаризованная в окрестности стационарной
точки упрощённая система моментных уравнений (4.36) ...... 192
4.8.4 Устойчивость стационарной точки (4.37) по
первому приближению ............................... 193
4.8.5 Иллюстративный пример системы общего вида ......... 193
Литература .................................................... 199
Именной указатель ............................................. 212
Аннотация на англ. языке (Abstract) ........................... 216
Оглавление на англ. языке (Contents) .......................... 217
|
