Предисловие ..................................................... 9

Часть I. МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ ......................... 13

Глава 1. Особенности современной математики .................... 15
  Приоритеты в математике XX в. ................................ 15
  Аксиоматизация и систематизация математики ................... 23
  Споры сторонников абстрактной и прикладной математики ........ 26
  "Архитектура" современной математики ......................... 31

Глава 2. Роль международных математических конгрессов
         в развитии математики ................................. 37
  Первые международные контакты ................................ 37
  Первый Международный конгресс математиков .................... 38
  Второй Международный конгресс математиков .................... 38
  Доклад Гильберта "Математические проблемы" ................... 39
  Международные математические конгрессы в XX и XXI вв. ........ 42
  Нерешенные (открытые) математические проблемы ................ 46

Глава 3. Профессиональные награды математиков .................. 50
  Международные награды по математике .......................... 50
  Международные награды, в которых одной из номинаций является
  "математика" ................................................. 61

Часть II. СТАНОВЛЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ.
          Основные математические школы ........................ 67

Глава 4. Как начиналась современная математика ................. 69
  Об истории пятого постулата Евклида .......................... 69
  Сущность неевклидовой геометрии .............................. 70
    Н.И. Лобачевский ........................................... 72
    Янош Больяй ................................................ 75
  Алгебраизация математики и математическая логика ............. 76
    Эварист Галуа .............................................. 78
    Джордж Буль ................................................ 83
  Создание теории бесконечных множеств ......................... 85
    Георг Кантор ............................................... 92

Глава 5. Споры относительно оснований математики ............... 96
  Интуиция и логика в математике ............................... 96
  Логицизм, интуиционизм, формализм ............................ 98
    Алфред Уайтхед ............................................ 109
    Бертран Рассел ............................................ 111
    Лейтзен Брауэр ............................................ 112
  Открытия Курта Геделя и Пола Коэна. Создание конструктивной
  математики .................................................. 115
    A.A. Марков-младший ....................................... 120
    Курт Гедель ............................................... 123
    Пол Коэн .................................................. 127

Глава 6. Петербургская математическая школа ................... 128
  Основание петербургской математической школы ................ 128
    П.Л. Чебышев .............................................. 129
    A.A. Марков ............................................... 132
    A.M. Ляпунов .............................................. 135
    B.А. Стеклов .............................................. 137
    Н.М. Гюнтер ............................................... 139
    В.И. Смирнов .............................................. 140

Глава 7. Немецкая математическая школа ........................ 143
  Система обучения в университетах Германии в XIX в. .......... 143
    Карл Вейерштрасс .......................................... 145
    Бернхард Риман ............................................ 146
    Юлиус Дедекинд ............................................ 149
    Феликс Клейн .............................................. 149
    Давид Гильберт ............................................ 152
    Герман Минковский ......................................... 159
    Герман Вейль .............................................. 161
    Рихард Курант ............................................. 165
  Разгром немецкой математической школы нацистами ............. 168

Глава 8. Французская математическая школа ..................... 172
  Система образования во Франции .............................. 172
    Анри Пуанкаре ............................................. 174
    Жак Адамар ................................................ 181
    Эмиль Борель .............................................. 183
    Анри Лебег ................................................ 186

Глава 9. Московская математическая школа ...................... 189
  Организация математических исследований до 1941 г. .......... 189
    Н.Е. Жуковский ............................................ 194
    Д.Ф. Егоров ............................................... 197
    Н.Н. Лузин ................................................ 199
    А.Н. Колмогоров ........................................... 203
  "Лузитания" ................................................. 209
  Внедрение диалектики в математику ........................... 213
  Организация математических исследований в годы войны и
  послевоенное время .......................................... 218

Глава 10. Американская математическая школа ................... 222
  Система образования в США ................................... 222
    Джордж Биркгоф ............................................ 225
    Соломон Лефшец ............................................ 226
    Джеймс Александер ......................................... 228
    Марстон Морс .............................................. 229
    Джон фон Нейман ........................................... 231
    Хасслер Уитни ............................................. 237
    Сондерс Маклейн ........................................... 238

Часть III. РАЗВИТИЕ ТРАДИЦИОННЫХ РАЗДЕЛОВ СОВРЕМЕННОЙ
           МАТЕМАТИКИ ......................................... 241

Глава 11. Математическая статистика и теория вероятностей ..... 243
  Математическая статистика ................................... 244
    Карл Пирсон ............................................... 246
    Уильям Госсет (Стъюдент) .................................. 248
    Е.Е. Слуцкий .............................................. 249
    Роналд Фишер .............................................. 251
    Ежи Нейман ................................................ 253
    Эгон Пирсон ............................................... 254
  Теория вероятностей ......................................... 255
    А.Я. Хинчин ............................................... 259
    Б.В. Гнеденко ............................................. 262
    Киеши Ито ................................................. 265
    Шриниваса Варадхан ........................................ 266
    Венделин Вернер ........................................... 267

Глава 12. Топология первой половины XX в. ..................... 268
  Чем занимается топология .................................... 268
    Феликс Хаусдорф ........................................... 273
    П.С. Урысон ............................................... 275
    П.С. Александров .......................................... 277
    Хейнц Хопф ................................................ 280
    Л.В.Келдыш ................................................ 281
    Шэншэнь Чжэнь (Черн) ...................................... 283

Глава 13. Вычислительная математика ........................... 285
  Численные и аналитические методы ............................ 285
    А.Н. Крылов ............................................... 288
    Б.Г. Галеркин ............................................. 290
    А.Н. Тихонов .............................................. 293
    A.A. Дородницын ........................................... 296
    Г.И. Марчук ............................................... 298
    A.A. Самарский ............................................ 301

Глава 14. Теория дифференциальных уравнений ................... 303
  Обыкновенные дифференциальные уравнения ..................... 303
  Дифференциальные уравнения с частными производными .......... 307
    С.Н. Бернштейн ............................................ 309
    И.А. Лаппо-Данилевский .................................... 312
    М.А. Лаврентьев ........................................... 313
    И.Г. Петровский ........................................... 316
    М.В. Келдыш ............................................... 319
    Ларе Хермандер ............................................ 322
    Седрик Виллани ............................................ 323

Глава 15. Теория функций и функциональный анализ .............. 325
  Теория функций .............................................. 325
  Функциональный анализ ....................................... 327
    Геста Миттаг-Леффлер ...................................... 330
    Константин Каратеодори .................................... 331
    Харальд Бор ............................................... 333
    Стефан Банах .............................................. 334
    Д.Е. Меньшов .............................................. 336
    М.Я. Суслин ............................................... 338
    Н.К. Бари ................................................. 341
    Рольф Неванлинна .......................................... 342
    Л.А. Люстерник ............................................ 343
    П.С. Новиков .............................................. 344
    Ларе Альфорс .............................................. 346
    С.Л. Соболев .............................................. 347
    И.М. Гельфанд ............................................. 352
    Чарльз Фефферман .......................................... 355
    Ален Конн ................................................. 356
    С.К. Смирнов .............................................. 357

Глава 16. Абстрактная алгебра ................................. 359
  Развитие алгебры в Европе ................................... 359
    Фердинанд Фробениус ....................................... 362
    Эмми Нетер ................................................ 363
    Эмиль Артин ............................................... 365
    Бартел Ван-дер-Варден ..................................... 367
    Джон Томпсон .............................................. 369
  Развитие алгебры в СССР ..................................... 370
    Д.А. Граве ................................................ 374
    О.Ю. Шмидт ................................................ 375
    Н.Г. Чеботарев ............................................ 377
    А.И. Мальцев .............................................. 379
    И.Р. Шафаревич ............................................ 380
    Г.А. Маргулис ............................................. 382
    Е.И. Зельманов ............................................ 383

Глава 17. Геометрия в России в XX - начале XXI в. ............. 384
  Очерк развития современной геометрии ........................ 384
    С.П. Фиников .............................................. 387
    Б.Н. Делоне ............................................... 389
    А.Д. Александров .......................................... 391
    A.B. Погорелов ............................................ 395
    М.Л. Громов ............................................... 397

Часть IV. КОРЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ РАЗДЕЛОВ
          МАТЕМАТИКИ ПОСЛЕ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ ............... 399

Глава 18. Николя Бурбаки - коллективный псевдоним
          группы математиков .................................. 401
  Возникновение объединения французских математиков ........... 401
  Бурбаки и реформа математического образования ............... 408
    Анри Картан ............................................... 411
    Андре Вейль ............................................... 412
    Клод Шевалле .............................................. 414
    Лоран Шварц ............................................... 415
    Жан-Пьер Серр ............................................. 416
    Джон Тейт ................................................. 418
    Александр Гротендик ....................................... 419
    Жак Тите .................................................. 422

Глава 19. Теоретическая физика и математика ................... 424
  О проблемах теоретической физики ............................ 424
  Стандартная модель физики элементарных частиц ............... 425
  Теория суперструн ........................................... 430
    Н.Н. Боголюбов ............................................ 436
    Ричард Фейнман ............................................ 440
    Роджер Пенроуз ............................................ 443
    Л.Д. Фаддеев .............................................. 445
    Шинтан Яу ................................................. 448
    Эдвард Виттен ............................................. 449
    Воган Джонс ............................................... 450
    М.Л. Концевич ............................................. 451

Глава 20. Топология второй половины XX в. ..................... 454
  Новые идеи в топологии ...................................... 454
    B.А. Рохлин ............................................... 458
    Рене Том .................................................. 461
    Стивен Смейл .............................................. 462
    Джон Милнор ............................................... 463
    Майкл Атья ................................................ 464
    C.П. Новиков .............................................. 466
  Гипотеза Пуанкаре ........................................... 469
    Уильям Терстон ............................................ 471
    Майкл Фридман ............................................. 472
    Саймон Доналдсон .......................................... 473
    Г.Я. Перельман ............................................ 474

Глава 21. Алгебраическая геометрия ............................ 478
  Очерк развития алгебраической геометрии ..................... 478
    Кунихико Кодаира .......................................... 481
    Хейсуке Хиронака .......................................... 482
    Дэвид Мамфорд ............................................. 483
    Пьер Делинь ............................................... 484
    Герд Фалтингс ............................................. 485
    Сигефуми Мори ............................................. 485
    В.А. Воеводский ........................................... 486

Глава 22. Теория чисел ........................................ 489
  Основные направления исследований ........................... 489
    Годфри Харди .............................................. 493
    Шриниваса Рамануджан ...................................... 495
    И.М. Виноградов ........................................... 498
    Л.Г. Шнирельман ........................................... 500
    А.О. Гельфонд ............................................. 502
    Атле Сельберг ............................................. 504
    Клаус Рот ................................................. 505
    Алан Бейкер ............................................... 506
    Энрико Бомбьери ........................................... 507
    Ю.В. Матиясевич ........................................... 508
    Теренс Тао ................................................ 509

Глава 23. Великая теорема Ферма ............................... 511
  Предыстория Великой теоремы Ферма ........................... 511
  Гипотеза Таниямы-Шимуры ..................................... 514
  Завершающие атаки на Великую теорему Ферма .................. 517
    Эндрю Уайлс ............................................... 518
    Роберт Ленглендс .......................................... 521
    В.Г. Дринфельд ............................................ 523
    Лоран Лаффорг ............................................. 524
    А.Ю. Окуньков ............................................. 525
    Бао Чау Нго ............................................... 526

Часть V. РАЗВИТИЕ НОВЫХ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ
         ПОСЛЕ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ ........................... 527

Глава 24. Теория алгоритмов, кибернетика,
          вычислительная техника .............................. 529
  Из предыстории вычислительной техники ....................... 529
  Теория алгоритмов ........................................... 530
  Кибернетика ................................................. 533
  Математика и вычислительная техника ......................... 537
    Ада Лавлейс ............................................... 538
    Норберт Винер ............................................. 539
    Алан Тьюринг .............................................. 541
    Клод Шеннон ............................................... 543
    В.М. Глушков .............................................. 545

Глава 25. Исследование операций и теория управления ........... 548
  Исследование операций и круг рассматриваемых задач .......... 548
    Агнер Эрланг .............................................. 553
    Л.С. Понтрягин ............................................ 554
    Ричард Беллман ............................................ 558
    Л.В. Канторович ........................................... 559
    H.H. Моисеев .............................................. 563
    Джон Форбс Нэш-младший .................................... 565
    Лотфи Заде ................................................ 566

Глава 26. Нестандартные методы анализа ........................ 571
  Расхождение современных физических представлений с идеями
  математического анализа ..................................... 571
  Нестандартный (инфинитезимальный) анализ .................... 572
  Бесконечно малые величины в трактовке Лейбница .............. 580
  Отношение ученых к идее бесконечно малых величин ............ 580
  Булевозначный анализ ........................................ 584
    Туральф Сколем ............................................ 585
    Абрахам Робинсон .......................................... 586
    Петр Вопенка .............................................. 587

Глава 27. Динамические системы. Порядок и хаос.
          Создание фрактальной геометрии ...................... 589
  Поиск единых законов эволюции ............................... 589
  Ключевые понятия качественной теории сложных нелинейных
  систем ...................................................... 590
  Варианты качественной теории сложных нелинейных систем ...... 593
  Фракталы .................................................... 601
    A.C. Безикович ............................................ 607
    И.Р. Пригожин ............................................. 609
    Эдвард Лоренц ............................................. 611
    Бенуа Мандельброт ......................................... 614
    Юрген Мозер ............................................... 616
    B.И. Арнольд .............................................. 617
    Жан-Кристоф Йоккоз ........................................ 620
    Элон Линденштраусс ........................................ 621

Заключение .................................................... 622
Литература .................................................... 626
Именной указатель ............................................. 629