Chapitre 1. Introduction ....................................... 1
1.1 Position et origine du problème ............................ 1
1.2 L'adaptation de la méthode de Batyrev et Tschinkel en
caractéristique positive ................................... 4
1.3 Quelques notations ......................................... 7
1.4 Rappels sur les corps globaux .............................. 7
Chapitre 2. Tores algébriques .................................. 9
2.1 Quelques rappels ........................................... 9
2.1.1 Tores algébriques et caractères ..................... 9
2.1.2 L'espace adélique associé à un tore
algébrique ......................................... 10
2.2 Les degrés ................................................ 13
2.2.1 Le degré sur Gm .................................... 13
2.2.2 Le degré sur un tore algébrique T .................. 13
2.2.3 Les degrés locaux .................................. 14
2.2.4 Le degré relatif ................................... 15
2.2.5 Les degrés locaux relatifs ......................... 17
2.2.6 Lien entre degré local et degré local
relatif ............................................ 18
2.2.7 Image du degré local relatif dans le cas d'une
place finie non ramifiée ........................... 19
2.2.8 Image du degré local relatif dans le cas d'une place
finie .............................................. 19
2.2.9 Image du degré local dans le cas archimédien ....... 21
2.2.10 Surjectivité du degré dans le cas arithmétique ..... 22
2.2.11 Image du degré dans le cas fonctionnel ............. 23
2.3 Groupe de classes d'un tore algébriques ................... 25
2.3.1 Définition, groupe de Tate-Shafarevich ............. 25
2.3.2 La dualité de Nakayama ............................. 26
2.3.3 Cocompacité ........................................ 27
2.4 Résolution flasque d'un tore algébrique et
applications .............................................. 29
2.4.1 Rappels et notations ............................... 29
2.4.2 Un résultat local .................................. 31
2.4.3 Approximation faible ............................... 31
2.4.4 Un invariant des tores algébriques définis
sur les corps de fonctions ......................... 36
2.5 Nombre de Tamagawa d'un tore algébrique ................... 40
2.5.1 Rappels sur les fonctions L d'Artin ................ 40
2.5.2 Définition et propriétés du nombre de
Tamagawa d'un tore algébrique ...................... 42
Chapitre 3. Hauteurs sur une variété torique et fonction
zêta associée ..................................... 45
3.1 Géométrie des variétés toriques ........................... 45
3.1.1 Variétés toriques déployées ........................ 45
3.1.2 Variétés toriques non déployées .................... 47
3.2 Hauteurs sur une variété torique .......................... 49
3.2.1 Rappels sur les hauteurs d'Arakelov ................ 49
3.2.2 Hauteurs locales sur une variété torique ........... 51
3.2.3 Hauteurs globales et fonction zêta des hauteurs .... 55
3.2.4 Remarques sur le cas fonctionnel ................... 56
3.3 Nombre de Tamagawa d'une variété torique .................. 58
3.3.1 Rappels sur la constante de Peyre raffinée ......... 58
3.3.2 Nombre de Tamagawa des variétés toriques ........... 59
3.4 Le résultat ............................................... 62
3.5 Stratégie de Batyrev et Tschinkel ......................... 62
3.5.1 Un peu d'analyse harmonique ........................ 63
3.5.2 Application à la fonction zêta des hauteurs ........ 65
Chapitre 4. Calcul des transformées de Fourier et expression
intégrale de la fonction zêta des hauteurs ........ 67
4.1 Caractères de T(AK) ....................................... 67
4.1.1 Caractères du groupe des idèles .................... 67
4.1.2 Caractères de T(AK) triviaux sur T(AK)1 ........... 68
4.1.3 Comportement des caractères de T(AK) vis-à-vis
des résolutions flasques ........................... 68
4.1.4 Caractères et hauteurs sur une variété
torique ............................................ 71
4.2 Calcul des transformées de Fourier locales ................ 72
4.2.1 Préliminaires ...................................... 72
4.2.2 Cas d'une place finie quelconque ................... 74
4.2.3 Calcul explicite aux places finies non ramifiées ... 75
4.2.4 Cas des places archimédiennes ...................... 77
4.2.5 Forme et décroissance des transformées de
Fourier aux places archimédiennes .................. 79
4.2.6 Forme des transformées de Fourier locales dans le
cas fonctionnel .................................... 82
4.3 Propriétés analytiques de la transformée de
Fourier globale ........................................... 87
4.3.1 Cas arithmétique ................................... 88
4.3.2 Cas fonctionnel .................................... 90
4.4 Un calcul de limite ....................................... 92
4.5 L'expression intégrale de la fonction zêta des
hauteurs .................................................. 95
4.5.1 Cas arithmétique ................................... 95
4.5.2 Cas fonctionnel ................................... 103
Chapitre 5. Evaluation de l'intégrale dans le cas
arithmétique ..................................... 113
5.1 Fonctions indicatrices de cônes .......................... 113
5.2 Un résultat d'analyse .................................... 114
5.3 Application du lemme technique et conclusion ............. 115
Chapitre 6. Évaluation de l'intégrale dans le cas
fonctionnel ...................................... 119
6.1 Fonctions indicatrices de cônes, bis ..................... 119
6.2 Définition d'une certaine classe de fonctions ............ 120
6.3 Avertissement au lecteur ................................. 121
6.4 Lemmes de décomposition .................................. 122
6.4.1 Version simple .................................... 122
6.4.2 Version générale .................................. 124
6.4.3 Un autre lemme de décomposition ................... 127
6.5 Comportement des fonctions étudiées par
intégration .............................................. 128
6.5.1 Le lemme technique: forme jouet ................... 129
6.5.2 Le lemme technique: forme simple .................. 129
6.5.3 Le lemme technique: forme générale ................ 131
6.5.4 Un autre lemme technique pour les termes
d'erreur .......................................... 134
6.6 Application à la fonction zêta des hauteurs
et conclusion ............................................ 136
6.6.1 Rappels préliminaires ............................. 136
6.6.2 Le cas d'une extension de déploiement non
ramifiée .......................................... 136
6.6.3 Un cas plus général ............................... 138
6.7 Appendice: le cas oщ l'hypothèse 3.24 n'est pas
vérifiée ................................................. 142
Bibliographie ................................................. 145
Index des notations ........................................... 149
Index des définitions ......................................... 151
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