Предисловие ..................................................... 3
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УСРЕДНЕННЫХ МОДЕЛЕЙ МИКРОНЕОДНОРОДНЫХ
CPEД И ХАРАКТЕРИСТИКИ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ИМ МИКРОСТРУКТУР .......... 6
1. Простейшая усредненная модель ................................ 6
2. Нелокальная усредненная модель .............................. 12
3. Двухкомпонентная усредненная модель ......................... 14
4. Усредненная модель с памятью ................................ 17
5. Усредненная модель с памятью. Случай нарушения равномерной
ограниченности теплоемкости ................................. 19
6. Усреднение краевых задач в сильно перфорированных
областях .................................................... 21
7. Сильно связные и слабо связанные области и их
количественные характеристики ............................... 27
7.1. Сильно связные и слабо связанные области ............... 28
7.2. Локальные средние характеристики сильно связных
областей ............................................... 31
Глава 1
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАОАЧА В ОБЛАСТЯХ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ ..... 41
1. Метод ортогональной проекции и абстрактная схема задачи
Дирихле в областях с мелкозернистой границей ................ 42
1.1. Области с мелкозернистой границей и метод
ортогональной проекции ................................. 42
1.2. Абстрактная схема решения задачи ....................... 45
2. Асимптотическое поведение решений первой краевой задачи в
областях с мелкозернистой границей .......................... 55
2.1. Постановка задачи и основной результат ................. 55
2.2. Вспомогательные предложения ............................ 58
2.3. О выполнении условий теоремы 1.2 ....................... 64
2.4. Доказательство теоремы 2.1 ............................. 72
3. Первая краевая задача в областях со случайной
мелкозернистой границей ..................................... 73
3.1. Постановка задачи и основной результат ................. 73
3.2. О выполнении условий теоремы 2.1 по вероятности ........ 76
3.3. Сходимость решений задачи (2.1)-(2.2) по вероятности ... 82
Глава 2
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАОАЧА В ОБЛАСТЯХ СО СЛОЖНОЙ ГРАНИЧЕН ........... 85
1. Необходимые и достаточные условия сходимости решений
первой краевой задачи ....................................... 85
1.1. Постановка задачи и основной результат ................. 85
1.2. Достаточность условий 1 и 2 ............................ 87
1.3. Необходимость условий 1 и 2 ............................ 97
1.4. Уравнения высших порядков ............................. 102
2. Асимптотическое поведение решений вариационных задач для
неквадратичных функционалов в областях со сложной
границей ................................................... 104
2.1. Некоторые сведения из теории пространств Соболева-
Орлича ................................................ 105
2.2. Постановка задачи и основной результат ................ 107
2.3. Доказательство теоремы 2.1 ............................ 109
3. Об асимптотическом поведении потенциала
электростатического поля в слабо нелинейной среде с
тонкими идеально проводящими нитями ........................ 123
4. Комментарии к главам 1 и 2 ................................. 131
Глава 3
СИЛЬНО СВЯЗНЫЕ ОБЛАСТИ ........................................ 133
1. Некоторые вспомогательные предложения ...................... 134
1.1. Одно свойство решеток с отмеченными узлами ............ 134
1.2. О некоторых свойствах дифференцируемых функций ........ 136
2. Последовательности областей, удовлетворяющие условиям
сильной связности .......................................... 146
2.1. О сходимости и компактности последовательностей
функций, заданных в изменяющихся областях ............. 146
2.2. Области, допускающие продолжение функций .............. 149
2.3. Области, допускающие продолжение функций с малым
искажением ............................................ 157
3. Последовательности сильно связных областей уменьшающегося
объема ..................................................... 162
3.1. О сходимости и компактности последовательностей
функций, заданных в областях уменьшающегося объема .... 162
3.2. Примеры последовательностей областей уменьшающегося
объема, удовлетворяющих условию сильной связности ..... 167
Глава 4
ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАОАЧА В СИЛЬНО ПЕРФОРИРОВАННЫХ ОБЛАСТЯХ ....... 178
1. Асимптотическое поведение второй краевой задачи в сильно
связных областях ........................................... 178
1.1. Тензор проводимости. Основная теорема ................. 178
1.2. Доказательство теоремы 1.1 ............................ 181
1.3. Сходимость энергий и потоков .......................... 188
1.4. О необходимости условий 1 и 2 теоремы 1.1 ............. 191
2. Вычисление тензора проводимости для структур локально
близких к периодическим .................................... 195
3. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи в
слабо связанных областях ................................... 205
3.1. Слабо связанные области ............................... 205
3.2. Количественные характеристики слабо связанных
областей. Основная теорема ............................ 208
3.3. Вспомогательные построения и предложения .............. 211
3.4. Доказательство теоремы 3.2 ............................ 224
3.5. Сходимость энергий и потоков .......................... 230
4. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи в
областях с накопителями .................................... 233
4.1. Слабо связанные области с накопителями и их
количественные характеристики. Основная теорема ....... 233
4.2. Вспомогательные построения и предложения .............. 237
4.3. Доказательство теоремы 4.1 ............................ 244
4.4. Одно обобщение теоремы 4.1 ............................ 253
5. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи в
сильно связных областях уменьшающегося объема .............. 256
5.1. Локальные средние характеристики областей и основная
теорема ............................................... 256
5.2. Некоторые примеры ..................................... 261
6. Комментарии к главам 3 и 4 ................................. 269
Глава 5
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ П СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАОАЧП .......................... 270
1. Асимптотическое поведение решений нестационарных задач в
цилиндрических областях .................................... 270
1.1. Сходимость спектральных проекторов .................... 270
1.2. Первая начально-краевая задача ........................ 273
1.3. Вторая начально-краевая задача ........................ 276
1.4. Вторая начально-краевая задача в областях с
накопителями .......................................... 279
2. Асимптотическое поведение решений первой начально-краевой
задачи в областях с изменяющейся мелкозернистой границей ... 282
2.1. Постановка задачи и основной результат ................ 282
2.2. Оценки производных решения задачи (2.1)-(2.3) ......... 284
2.3. Доказательство теоремы 2.1 ............................ 289
3. Асимптотическое поведение собственных значений краевых
задач в сильно перфорированных областях .................... 292
3.1. Сильно связные области Ω(S) ............................ 292
3.2. Слабо связанные области ............................... 299
3.3. Области с накопителями ................................ 300
4. Комментарии к главе 5 ...................................... 301
Глава 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЫСТРОООШЛЛПРУЮШПМП
КОЭФФИЦИЕНТАМИ ................................................ 303
1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных
уравнений с коэффициентами, не удовлетворяющими условию
равномерной эллиптичности .................................. 305
1.1. Постановка задачи и формулировка основной теоремы ..... 305
1.2. Вспомогательные предложения и построения .............. 311
1.3. Стационарный вариант теоремы 1.1 ...................... 335
1.4. Окончание доказательства теоремы 1.1 .................. 343
2. О некоторых конкретных реализациях усредненной модели
диффузии ................................................... 347
2.1. Однофазная модель с памятью ........................... 347
2.2. Усредненная модель диффузии для среды с ловушками ..... 353
2.3. Двухкомпонентные модели ............................... 359
2.4. Вероятностная задача .................................. 362
3. Асимптотическое поведение решений дифференциальных
уравнений с коэффициентами, не удовлетворяющими условию
равномерной ограниченности ................................. 367
3.1. Стационарная задача. Постановка задачи и
формулировка основной теоремы ......................... 367
3.2. Вспомогательные предложения ........................... 371
3.3. Доказательство теоремы 3.1 ............................ 385
3.4. Нестационарные задачи ................................. 391
4. Об одной конкретной реализации нелокальной усредненной
модели ..................................................... 393
5. Усредненная модель теплопроводности в среде, содержащей
включения с большой удельной теплоемкостью ................. 398
5.1. Постановка задачи и основной результат ................ 398
5.2. Стационарная задача ................................... 401
5.3. Доказательство теоремы 5.1 ............................ 410
5.4. Периодическая мелкозернистая структура включений ...... 416
6. Комментарии к главе 6 ...................................... 422
Глава 7
УСРЕОНЕННЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ОБЛАСТЯХ С ГУСТЫМИ
ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИМИ СЕТКАМИ .................................. 424
1. Постановка задачи и качественное описание результата ....... 425
2. Локальные средние характеристики сеток и формулировка
основной теоремы ........................................... 428
3. Сведение задачи к двум вспомогательным стационарным
задачам .................................................... 431
4. Асимптотическое поведение решений вспомогательной задачи
(7) ........................................................ 440
4.1. Координатные вектор-функции υhj(s)(x) .................. 442
4.2. Построение тестовой вектор-функции wh(s)(x)
и доказательство неравенства (4.3) .................... 444
4.3. Доказательство неравенства (4.6) ...................... 446
5. Асимптотическое поведение решений вспомогательной задачи
(II) ....................................................... 451
6. Завершение доказательства основной теоремы 2.1 ............. 458
7. О выполнении условий теоремы 2.1 ........................... 464
8. Комментарии к главе 7 ...................................... 465
Глава 8
УСРЕШ1ЕННЫЕ УСЛОВИЯ СОПРЯЖЕНИЯ ................................ 467
1. Задача Дирихле. Общий случай поверхностного распределения
множеств ................................................... 467
1.1. Постановка задачи и основной результат ................ 467
1.2. Подготовительная лемма ................................ 472
1.3. Основная часть доказательства теоремы 1.1 ............. 482
2. Задача Неймана. Общий случай поверхностного распределения
множеств F(s) ............................................... 490
2.1. Постановка задачи и основной результат ................ 490
2.2. Подготовительная лемма ................................ 494
2.3. Основная часть доказательства теоремы 2.1 ............. 499
3. О прогибе упругих пластин, возмущенных мелкозернистыми
множествами F(s) ............................................ 504
3.1. Жестко закрепленная пластина .......................... 505
3.2. Свободная пластина .................................... 515
4. Условия сопряжения для уравнения Гинзбурга-Ландау.
О стационарном эффекте Джозефсона .......................... 524
4.1. Постановка задачи о слабо связанном сверхпроводнике
и свойства ее решения ................................. 525
4.2. Теорема сходимости .................................... 528
4.3. Стационарный эффект Джозефсона ........................ 533
Комментарии к главе 8 ......................................... 534
Список литературы ............................................. 536
|
