Введение ........................................................ 6
Глава 1. Приближение функций .................................... 8
1.1 Задача интерполирования .................................... 8
1.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа ....................... 11
1.3 Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа ......... 14
1.4 Разделенные разности их свойства .......................... 17
1.5 Интерполяционный многочлен Ньютона ........................ 22
1.6 Приближенная формула для оценки погрешности
интерполирования .......................................... 24
1.7 Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита ........ 25
1.8 Остаточный член формулы Эрмита ............................ 32
1.9 Обобщенная схема Горнера .................................. 34
1.10 Схема Эйткена ............................................. 38
1.11 Конечные разности их свойства ............................. 42
1.12 Многочлен Ньютона с конечными разностями. Формула
Ньютона ................................................... 47
1.13 Уравнения в конечных разностях ............................ 49
1.14 Интерполирование по узлам Чебышева. Ограничения
многочленной интерполяции ................................. 55
1.15 Некоторые другие виды приближений ......................... 58
1.15.1 Приближение сплайнами .............................. 58
1.15.1.1 Базисные сплайны .......................... 62
1.15.2 Среднеквадратичное приближение ..................... 71
1.15.2.1 Непрерывный случай ........................ 71
1.15.2.2 Дискретный случай ......................... 74
Глава 2. Приложения теории интерполирования .................... 77
2.1 Численное дифференцирование ............................... 77
2.2 Метод неопределенных коэффициентов построения формул
численного дифференцирования .............................. 86
2.3 Влияние погрешностей округлений в формулах численного
дифференцирования ......................................... 90
2.4 Численное интегрирование .................................. 93
2.5 Формулы прямоугольников ................................... 94
2.6 Формула трапеций .......................................... 99
2.7 Формула Симпсона (парабол) ............................... 100
2.8 Формулы Гаусса ........................................... 102
2.9 Остаточный член формулы Гаусса ........................... 107
2.10 Составные квадратурные формулы (сплайн-квадратуры) ....... 108
2.11 Главный член погрешности квадратурной формулы ............ 112
2.12 Горизонтальная процедура ................................. 114
2.13 Вертикальная процедура ................................... 116
2.14 Принцип Рунге (принцип двойного перерасчета) ............. 118
2.15 Принцип Ромберга ......................................... 120
Глава 3. Численное решение задачи Коши для уравнения первого
порядка .............................................. 125
3.1 Методы Рунге - Кутта ..................................... 126
3.2 Принцип Рунге приближенной оценки погрешности (принцип
двойного пересчета) ...................................... 133
3.3 Методы типа Адамса (конечноразностные методы) ............ 134
3.4 Метод неопределенных коэффициентов построения формул
типа Адамса .............................................. 140
3.5 Сходимость и устойчивость ................................ 144
Глава 4. Разностные методы решения краевых задач .............. 150
4.1 Разностные методы решения краевых задач эллиптического
типа. Одномерный случай .................................. 150
4.2 Способы повышения порядка аппроксимации граничных
условий .................................................. 157
4.3 Матрицы, обладающие свойством монотонности ............... 161
4.4 Корректность дискретной задачи Дирихле ................... 164
4.5 Сходимость решения разностной задачи к решению
дифференциальной задачи .................................. 167
4.6 Двумерные краевые задачи ................................. 170
4.7 Априорная оценка разностной краевой задачи ............... 182
4.8 Спектр разностного аналога оператора задачи Дирихле для
эллиптического уравнения второго порядка ................. 184
4.9 Методы решения конечноразностных систем .................. 191
4.9.1. Метод простой итерации ............................ 192
4.9.2 Метод Зейделя ..................................... 195
4.9.3 Метод простой итерации с оптимальным параметром ... 196
4.9.4 Метод Ричардсона .................................. 198
4.9.5 Градиентные методы ................................ 199
4.9.5.1 Метод наискорейшего спуска ............... 200
4.9.5.2 Метод сопряженных направлений ............ 202
4.9.5.3 Метод сопряженных градиентов ............. 203
4.9.6 Метод последовательной верхней релаксации
(SOJR) ............................................ 204
4.9.7 Метод переменных направлений ...................... 210
4.9.8 Переменно-треугольный метод ....................... 211
4.10 Нестационарные задачи .................................... 213
Глава 5. Вариационные и вариационно-разностные методы
решения краевых задач математической физики .......... 224
5.1 Понятие обобщенной производной в одномерном случае ....... 225
5.2 Понятие обобщенного решения в одномерном случае .......... 229
5.3 Понятие обобщенной производной в двумерном случае ........ 238
5.4 Понятие обобщенного решения в двумерном случае ........... 242
5.5 Положительная определенность (коэрцитивность, V-
эллиптичность) билинейной формы α(u, υ) .................. 250
5.6 Связь задачи нахождения обобщенного решения с задачей
минимизации энергетического функционала .................. 256
5.7 Вариационные методы решения краевых задач ................ 260
5.8 Вариационно-разностные методы решения краевых задач
(методы конечных элементов) .............................. 265
5.8.1 Одномерный случай ................................. 265
5.8.2 Двумерный случай .................................. 281
5.8.3 Треугольные координаты ............................ 293
5.9 Формулы Гаусса вычисления определенных интегралов ........ 296
5.10 Теоремы сходимости вариационно-разностных методов ........ 300
5.11 Теоремы аппроксимации. Одномерный случай ................. 303
5.12 О линейной независимости базисных функций ................ 309
5.13 Теоремы аппроксимации и сходимости ....................... 313
Двумерный случай .............................................. 313
Литература .................................................... 316
Предметный указатель .......................................... 319
|
