 | Prill F. Diskontinuierliche Galerkin-Methoden und schnelle iterative Löser zur Simulation kompressibler Strömungen / Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik, Braunschweig. - Köln: DLR, Bibliotheks- und Informationswesen, 2010. - III, 272 S.: Ill. - (Forschungsbericht; 10-17). - Bibliogr.: 259-272. - ISSN 1434-8454
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1 Einleitung ................................................... 1
1.1 Gegenstand der Arbeit ................................... 1
1.2 Numerische Strömungssimulation .......................... 1
1.3 Lösungsverfahren für die diskretisierten
Probleme ................................................ 5
1.4 Gliederung ............................................. 10
I Diskontinuierliche Galerkin-Methoden ....................... 13
2 Modellgleichungen ........................................... 15
2.1 Lineare Modellgleichung ................................ 15
2.2 Modellgleichungen der Gasdynamik ...................... 18
3 Diskretisierung mit der diskontinuierlichen Galerkin-
Methode ..................................................... 23
3.1 Einleitung ............................................. 23
3.2 Konstruktion der Finite-Element-Räume .................. 26
3.2.1 Triangulierung und finite Elemente .............. 26
3.2.2 Lokale Ansatzfunktionen ......................... 31
3.2.3 Struktur der Teilaufgaben in der dGFEM .......... 34
3.3 Diskretisierung des linearen Modellproblems ............ 35
3.3.1 Zusammengesetzte Sobolev-Räume .................. 35
3.3.2 Konvektions-Diffusions-Problem .................. 41
3.3.3 Basisaussagen zur Diskretisierung ............... 51
3.3.4 Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix ............ 56
3.4 Diskretisierung der kompressiblen Navier-Stokes-
Gleichungen ............................................ 69
3.4.1 Behandlung des hyperbolischen Anteils ........... 69
3.4.2 Diskretisierung der viskosen Flüsse ............. 70
3.4.3 Linearisierung .................................. 73
II Iterative Lösung der linearen Gleichungssysteme ........... 77
4 Lineare Mehrgitterverfahren ................................. 79
4.1 Einleitung ............................................. 79
4.1.1 Mehrgitter-Iteration ............................ 79
4.1.2 Stationäre lineare Iteration und
Vorkonditionierer ............................... 81
4.2 Geometrisches Mehrgitterverfahren ...................... 85
4.2.1 Verfahrensbeschreibung .......................... 85
4.2.2 Konvergenzresultat für das elliptische
Modellproblem ................................... 87
4.2.3 Störungslemma für den Fall schwacher
Konvektion ...................................... 91
4.2.4 Numerische Tests ............................... 103
4.3 Mehrgittermethode basierend auf geglätteter
Aggregation ........................................... 106
4.3.1 Verfahrensbeschreibung ......................... 107
4.3.2 Agglomerationsheuristik ........................ 111
4.3.3 Konvergenzanalyse .............................. 114
4.3.4 Numerische Tests ............................... 120
4.4 Anpassungen für konvektiv dominierte Probleme .... 123
4.4.1 Transferoperatoren für den Konvektionsterm ..... 123
4.4.2 Downwind Numbering ............................. 124
4.4.3 Blockversionen des Gesamt- und
Einzelschrittverfahrens ........................ 124
4.4.4 Numerische Tests ............................... 129
4.4.5 Analyse der Glättungsiteration ................. 135
4.5 Multi-p-Algorithmus ................................... 139
4.5.1 Verfahrensbeschreibung ......................... 140
4.5.2 Behandlung als rekursives
Defektkorrekturverfahren ....................... 142
4.5.3 Konvergenzanalyse der p-Zweigittermethode ...... 144
4.5.4 Numerische Tests ............................... 151
5 Schur-Komplement-Vorkonditionierer für die dGFEM ........... 155
5.1 Einleitung ............................................ 155
5.2 p-Substrukturmethode .................................. 155
5.2.1 Schur-Komplement der Steifigkeitsmatrix ........ 155
5.2.2 Diagonal- und Kanten-Block-Vorkonditionierer ... 158
5.2.3 Konvergenzanalyse .............................. 159
5.2.4 Numerische Tests ............................... 164
III Lösungsverfahren für die nichtlinearen Gleichungen ........ 171
6 Lösungsverfahren für die nichtlinearen Gleichungen .... 173
6.1 Einleitung ............................................ 173
6.2 Newton-Mehrgitter-Iteration ........................... 174
6.2.1 Verfahrensbeschreibung ......................... 174
6.2.2 Numerische Tests ............................... 178
6.3 Nichtlineare Multi-p-Iteration ........................ 189
6.3.1 Verfahrensbeschreibung ......................... 189
6.3.2 Numerische Tests ............................... 192
7 Kombinierte Lösung der primalen und dualen Probleme ... 197
7.1 Adaption basierend auf einer a posteriorz-
Fehlerschätzung ....................................... 197
7.1.1 Beispiele ...................................... 198
7.1.2 Verfeinerungsindikatoren ....................... 199
7.1.3 Approximation der Adjungierten ................. 201
7.2 Iterative Lösungsverfahren ....................... 202
7.2.1 Verfahrensbeschreibung ......................... 202
7.2.2 Numerische Tests ............................... 207
8 Zusammenfassung und Ausblick ............................... 217
A Verwendete Konvergenzresultate für die
Mehrgitterverfahren ........................................ 223
B Fourier-Analyse ............................................ 227
B.l Die diskontinuierliche Galerkin-Methode als
gemischte FEM ......................................... 227
B.2 Differenzenstern ...................................... 230
B.3 Fourier-Zerlegung ..................................... 233
C Übersicht über den Programmcode PADGE ...................... 243
Symbolverzeichnis ............................................. 251
Literaturverzeichnis .......................................... 259
Sachverzeichnis ............................................... 273
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