К читателям ..................................................... 5
Предисловие к 6-му изданию ...................................... 8
Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ................. 9
§ 1.1. Векторы и скаляры ........................................ 9
§ 1.2. Сложение и вычитание векторов. Проекция вектора
на ось .................................................. 11
§ 1.3. Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость
векторов. Разложение вектора ............................ 14
§ 1.4. Скалярное и векторное произведение двух векторов ........ 22
§ 1.5. Произведения трех векторов .............................. 28
§ 1.6. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и
контравариантные составляющие вектора. Сокращенные
обозначения ............................................. 31
§ 1.7. Переменные векторы ...................................... 42
Задачи с решениями ............................................. 46
Упражнения ..................................................... 62
Глава 2. ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА И ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕГО
КОМПОНЕНТ ............................................. 67
§ 2.1. Компоненты тензоров и их преобразование.
Равноправность координатных систем ...................... 67
§ 2.2. Тензоры нулевого ранга (скаляры) ........................ 69
§ 2.3. Тензоры первого ранга (векторы) ......................... 71
§ 2.4. Тензоры второго ранга ................................... 75
§ 2.5. Тензоры высших рангов ................................... 89
§ 2.6. Преобразование компонент векторов и тензоров при
повороте координатной плоскости вокруг
перпендикулярной оси .................................... 90
§ 2.7. Инвариантность тензорных уравнений ...................... 94
§ 2.8. Криволинейные координаты ................................ 96
§ 2.9. Тензоры в системах обобщенных координат ................ 103
Задачи с решениями ............................................ 108
Упражнения .................................................... 118
Глава 3. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА .................................... 121
§ 3.1. Сложение тензоров ...................................... 121
§ 3.2. Умножение тензоров ..................................... 122
§ 3.3. Свертывание тензоров ................................... 123
§ 3.4. Свойство симметрии тензоров ............................ 125
§ 3.5. Единичный тензор. Метрический тензор ................... 130
§ 3.6. Главные оси тензора. Приведение тензора к главным
осям ................................................... 132
§ 3.7. Инварианты тензора ..................................... 145
§ 3.8. Признак тензорности величин ............................ 151
§ 3.9. Псевдотензоры .......................................... 152
§ 3.10.Линейное n-мерное пространство. Векторы и тензоры
в n-мерном пространстве ................................ 158
Задачи с решениями ............................................ 161
Упражнения .................................................... 166
Глава 4. ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ......................... 168
§ 4.1. Тензорное поле. Циркуляция ............................. 168
§ 4.2. Теорема Гаусса - Остроградского и теорема Стокса ....... 172
§ 4.3. Скалярное поле. Производная по направлению.
Оператор  ............................................. 182
§ 4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля.
Дифференцирование вектора по направлению ............... 189
§ 4.5. Поле тензора второго ранга. Поток, дивергенция и
производная по направлению тензорного поля ............. 210
§ 4.6. Ковариантное дифференцирование тензоров.
Ковариантная производная вектора. Символы
Кристоффеля ............................................ 212
§ 4.7. Применение дифференциальных операций к различного
вида векторным и скалярным функциям .................... 219
§ 4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа ... 231
§ 4.9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал ...... 253
§ 4.10.Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал ..... 258
§ 4.11.Лапласово векторное поле. Гармонические функции ........ 262
§ 4.12.Основная теорема векторного анализа (теорема Стокса -
Гельмгольца) ........................................... 270
§ 4.13.Условия совместности. Восстановление векторного поля
смещений по компонентам тензора деформаций ............. 282
Задачи с решениями ............................................ 286
Упражнения .................................................... 311
Список литературы ............................................. 314
Предметный указатель .......................................... 315
|
