Предисловие ..................................................... 3
От автора ....................................................... 5
Введение ........................................................ 6
1. Основы теории n-чисел и связанных с ними уравнений
для классических полей ...................................... 11
1.1. n-числа и их матричные представления ...................... 11
1.1.1. Собственный базис n-чисел .......................... 11
1.1.2. Линейные преобразования собственного базиса ........ 14
1.2. Примеры n-чисел ........................................... 18
1.2.1. Циркулянтные n-числа ............................... 18
1.2.2. n-числа синус-типа ................................. 21
1.2.3. Двойные числа раша ................................. 23
1.3. Алгебраический подход к φ-периодическому пучку
диэлектрических волноводов ................................ 30
1.4. Классы точно решаемых нелинейных дифференциальных
систем Федорова и устойчивость их положений равновесия .... 38
1.5. Основные результаты первого раздела ....................... 45
2. Принцип наблюдаемости и случаи вырождения
n-чисел и систем Федорова ................................... 47
2.1. Трудности континуального подхода и принцип
наблюдаемости ............................................. 47
2.1.1. Бесконечность и континуум как приближенные
понятия ............................................ 48
2.1.2. Неразличимость рациональных и действительных
чисел .............................................. 51
2.1.3. Обобщенное обращение комплексных чисел и
его физическая трактовка ........................... 52
2.2. Обобщенное обращение обыкновенных n-чисел ................. 55
2.3. Некоторые классы точно решаемых вырожденных
систем Федорова ........................................... 58
2.4. Кольцо дуальных n-чисел и классы разрешимых в нем
алгебраических уравнений .................................. 61
2.5. Расширенные классы точно решаемых вырожденных
систем Федорова ........................................... 67
2.6. Основные результаты второго раздела ....................... 71
3. Коммутативное обращение вырожденных матриц
и оператора дискретного дифференцирования ................... 72
3.1. Обобщенная обратная матрица Дразина А-1 и нулевая
степень А0 вырожденной матрицы А .......................... 72
3.1.1. Определение матриц А-1, А0 и их единственность ..... 73
3.1.2. Существование матриц А-1 и А0 ...................... 75
3.1.3. Спектральные свойства матриц А-1 и А0 .............. 78
3.2. Симметрично обратимые матрицы ............................. 79
3.2.1. Некоторые свойства симметрично обратимых
матриц .................................................... 79
3.2.2. Сопоставление обобщенных обратных матриц
Дразина и Мура-Пенроуза ............................ 81
3.2.3. Сопоставление операций (•)-1 и (•)0 над
матрицами и n-числами .............................. 83
3.3. Операторы D0 и D-1 для сингулярной матричной
модели D оператора дифференцирования ...................... 84
3.3.1. Построение операторов D0 и D-1 в виде
разложений по степеням оператора D ................. 85
3.3.2. Трактовка операторов D0 и D-1 как циркулянтных
матриц ............................................. 88
3.3.3. Интегральное представление операторов
D0 и D-1 ............................................ 90
3.3.4. Реализация операторов D, D0, D-1 матрицами
размера 5x5. ................................... 95
3.4. Некоторые следствия и приложения развитого
формализма ................................................ 98
3.4.1. Алгебраический подход к периодическим
краевым задачам ........................................... 98
3.4.2. Спектральные свойства операторов D, D0, D-1
и явление Гиббса ......................................... 100
3.4.3. Дискретная трактовка δ-функции Дирака ............. 101
3.5. Основные результаты третьего раздела ..................... 103
4. Кватернионы ранга г и уравнения для свободной
частицы с произвольным спином ............................... 105
4.1. Линейные преобразования кватернионов ..................... 106
4.1.1. Кватернионы первого ранга ......................... 106
4.1.2. Кватернионы ранга r = 1,2,... ..................... 109
4.2. Кватернионная факторизация оператора Клейна-Фока
и различные формулировки уравнения Дирака ................ 113
4.3. Уравнения Баргмана-Вигнера в терминах кватернионов
ранга r .................................................. 119
4.4. Спектр масс частицы, описываемой суперпозицией
уравнений Баргмана-Вигнера ............................... 121
4.5. Кватернионный подход к формализму Рариты-Швингера ........ 124
4.6. Основные результаты четвертого раздела ................... 127
5. Лагранжев формализм и учет электромагнитного
взаимодействия в кватернионном подходе ..................... 129
5.1. Уравнения Эйлера-Лагранжа ................................ 129
5.2. Лагранжианы свободных кватернионных полей ................ 131
5.3. Теорема Нетер ............................................ 133
5.4. Введение взаимодействия частицы с электромагнитным
полем .................................................... 135
5.5. Инвариантность к инверсии пространства, обращению
времени и зарядовому сопряжению .......................... 138
5.6. Нормировка спинорных полей ............................... 139
5.7. Уравнения Прока для заряженной векторной частицы
и кватернионы ............................................ 141
5.8. Основные результаты пятого раздела ....................... 146
6. Релятивистская и нерелятивистская задачи
о поляроне ................................................. 147
6.1. Система уравнений типа Максвелла - Дирака и задача
о поляроне ............................................... 147
6.2. Сферически-симметричные состояния полярона ............... 151
6.2.1. Метод расчета ..................................... 152
6.2.2. Спектр энергий .................................... 154
6.3. Основные результаты шестого раздела ...................... 163
Заключение .................................................... 164
Основные научные результаты работы ............................ 164
Рекомендации по практическому использованию полученных
результатов ................................................... 166
Список литературы ............................................. 168
|
