Предисловие ..................................................... 5
Часть 1. Дифференциальные свойства действительных и
комплексных функций .................................. 11
Глава 1. "Дискретные" теоремы ................................. 13
1. Производные числа ................................. 13
2. Структурные теоремы ............................... 20
Глава 2. Контингенции множеств ................................ 27
1. Множества первой и второй категории ............... 27
2. Контингенции множеств ............................. 34
3. Полунепрерывные функции ........................... 43
4. Цилиндрические контингенции ....................... 50
5. Теорема о контингенциях гиперповерхностей
евклидова пространства ............................ 62
Глава 3. Дифференциальные свойства действительных функций ..... 71
1. Функции одного переменного ........................ 71
2. Теорема Ярника .................................... 83
3. Об одной задаче H.H. Лузина ....................... 90
4. Теорема о постоянстве функции .................... 101
Глава 4. Связность ........................................... 133
1. Основные свойства связных множеств ............... 133
2. Внутреннее определение связности ................. 136
3. Квазикомпоненты .................................. 138
4. Связность графика многозначного отображения ...... 140
5. Веер Кнастера-Куратовского ....................... 145
6. Связность компактов .............................. 148
7. Компоненты компакта .............................. 151
8. Нульмерные множества ............................. 152
9. Нульмерные компакты .............................. 154
Глава 5. Действительные функции одного переменного.
Критерии монотонности ............................... 159
1. Обратимость функции .............................. 159
2. Отсутствие экстремумов ........................... 160
3. Открытость ....................................... 161
4. Степень отображении .............................. 162
5. Другие критерии монотонности ..................... 165
6. Функции с особенностями .......................... 168
7. Обобщения ........................................ 171
8. Дифференцируемые функции с особенностями ......... 173
Глава 6. Комплексные функции ................................. 177
1. Множества моногенности ........................... 177
2. Случай функции z(t) = φ(t) + iψ(t) ............... 194
3. Свойства конформности, К', К", К''' и множества
моногенности ..................................... 197
4. Категорная теорема о множествах моногенности ..... 210
5. Основная теорема о множествах  ................ 219
6. Обобщение теоремы В.В. Степанова об
асимптотической дифференцируемости функций ....... 219
Часть 2. Внутренние отображения и их приложения .............. 229
Глава 7. Локальная степень отображения ....................... 231
1. Поверхность ∑(z0) ................................ 231
2. Порядок кривой относительно точки ................ 236
3. Произведение путей ............................... 239
4. Фундаментальная группа ........................... 241
5. Примеры .......................................... 245
6. Локальная степень отображения .................... 247
7. Инвариантность области ........................... 249
8. Независимость функций и нульмерные отображения ... 252
9. Открытые отображения ............................. 255
Глава 8. Внутренние отображения .............................. 261
1. Лемма о простой дуге ............................. 261
2. Изолированность внутреннего отображения .......... 265
3. Теорема о локальном обращении внутреннего
отображения ...................................... 267
4. Внутренние отображения и аналитические функции ... 270
5. Еще о графике многозначного отображения .......... 271
Глава 9. Топологические теоремы о продолжении внутренних
отображений ......................................... 281
1. Локальная степень нульмерного отображения ........ 281
2. Топологическая теорема о продолжении ............. 287
3. Корень k-й степени от комплексной функции ........ 292
Глава 10. Геометрические теоремы о продолжении ................ 301
1. Первая теорема о продолжении ..................... 301
2. Вторая теорема о продолжении ..................... 319
Глава 11. Дифференциальные свойства комплексных функций ....... 331
1. Дифференцируемость открытых отображений .......... 331
2. Условие Липшица .................................. 346
3. Производная на границе и в области ............... 354
4. Новые критерии дифференцируемости
комплекснозначых функций ......................... 360
Глава 12. Аналитические функции с совершенным множеством
особых точек ........................................ 371
1. Нечто обзорное ................................... 371
2. Задачи Данжуа .................................... 404
3. К теореме о среднем .............................. 410
Глава 13. Критерии аналитичности .............................. 423
1. Критерий постоянства комплексной функции ......... 423
2. Отображения со свойством К" ...................... 436
3. Отображения со свойством К''' .................... 439
4. Конформные отображения ........................... 446
5. Отображения со cвойством К' ...................... 450
6. Об одном критерии аналитичности функций .......... 463
7. Моногенность на множестве. Обобщение
теоремы Радо ..................................... 478
8. Другие критерии голоморфности .................... 482
Глава 14. Устранимые особенности аналитических функций ........ 491
1. Особые множества меры нуль ....................... 491
2. Основная теорема ................................. 498
Дополнение .................................................... 501
1. Об открытых нульмерных отображениях
многообразий ..................................... 501
2. О локальной степени нульмерного отображения ...... 510
Литература .................................................... 527
|
