ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................................    8
Г л а в а 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ .................................................   12
  1.1. Сетка,ячейки сетки .....................................   12
       1.1.1. Базисные ячейки .................................   13
       1.1.2. Элементарные ячейки .............................	  14
  1.2. Параметризация физической геометрии ....................   15
  1.3. Требования к сеткам и математическим моделям ...........   18
       1.3.1. Условия на ячейки и сетки .......................   18
       1.3.2. Требования к математическим моделям
              и компьютерным программам .......................   28

Г л а в а 2. МЕТОДЫ ОТОБРАЖЕНИЙ ...............................   30
  2.1. Построение локальных сеток .............................   30
       2.1.1. Схема методов отображений .......................   30
       2.1.2. Популярные методы ...............................   34
  2.2. Блочная стратегия ......................................   45
       2.2.1. Топология вычислительной области ................   46
       2.2.2. Базисные топологии сеток в неодносвязных блоках     48
       2.2.3. Условия, налагаемые на сетки в блоках ...........   51
  2.3. Автоматизированные программы ...........................   52

Г л а в а 3. КООРДИНАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ......................   54
  3.1. Введение ...............................................   54
  3.2. Общие понятия и соотношения ............................   55
       3.2.1. Матрица Якоби ...................................   55
       3.2.2. Касательные векторы .............................   58
       3.2.3. Нормальные векторы ..............................   60
       3.2.4. Представление произвольных векторов через
              базисные векторы ................................   62
       3.2.5. Метрические тензоры .............................   64
       3.2.6. Векторное произведение ..........................   69
  3.3. Соотношения, касающиеся вторых производных .............   73
       3.3.1.Символы Кристоффеля ..............................   73
       3.3.2. Дифференцирование якобиана ......................   76
       3.3.3. Базисное тождество ..............................   77
  3.4. Законы сохранения ......................................   80
       3.4.1. Скалярные законы сохранения .....................   80
       3.4.2. Векторные законы сохранения .....................   83
  3.5. Преобразования, зависящие от времени ...................   88
       3.5.1. Переформулировка зависящих от времени
              преобразований ..................................   89
       3.5.2. Базисные соотношения ............................   90
       3.5.3. Уравнения в форме скалярных законов сохранения ..   93
       3.5.4. Уравнения в форме векторных,законов сохранения ..   98

Г л а в а 4. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ............................  104
  4.1. Геометрия кривых .......................................  104
       4.1.1. Базисные векторы кривой .........................  105
       4.1.2. Кривизна ........................................  108
       4.1.3. Кручение ........................................  109
  4.2. Геометрия многомерных поверхностей и римановых
       многообразий ...........................................	 111
  4.3. Первая квадратичная форма ..............................  115
       4.3.1. Ковариантный метрический тензор .................  115
       4.3.2. Контравариантный метрический тензор .............  117
  4.4. Инварианты метрического тензора ........................  121
       4.4.1. Алгебраические выражения для инвариантов ........  121
       4.4.2. Геометрическая интерпретация ....................  123
  4.5. Обобщение на римановы многообразия .....................  125
       4.5.1. Определение многообразия ........................  125
       4.5.2. Пример риманова многообразия ....................  129
       4.5.3. Символы Кристоффеля для многообразий ............  130
  4.6. Тензоры ................................................  136
       4.6.1. Определение .....................................  136
       4.6.2. Примеры тензоров ................................  138
       4.6.3. Операции над тензорами ..........................  142
  4.7.Основные инварианты .....................................  144
       4.7.1. Дифференциальные параметры Бельтрами ............  144
       4.7.2. Средняя кривизна ................................  146
  4.8. Геометрия гиперповерхностей ............................  147
       4.8.1. Нормаль к гиперповерхности ......................  147
       4.8.2. Вторая фундаментальная форма ....................  152
       4.8.3. Кривизны поверхности ............................  153
       4.8.4. Кривизны двумерной поверхности ..................  154
       4.8.5. Формулы для средней кривизны n-мерной
              поверхности .....................................  157

Г л а в а 5. ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗНОСТНЫХ
СЕТОК .........................................................  172
  5.1. Характеристики сеточных линий ..........................  173
       5.1.1. Сумма квадратов длин ребер ячейки ...............  173
       5.1.2. Эксцентриситет ..................................  173
       5.1.3. Кривизна ........................................  174
       5.1.4. Мера кручения координатной линии ................  178
  5.2. Характеристики граней трехмерной сетки .................  179
       5.2.1. Скошенность граней ячейки .......................  179
       5.2.2. Отношение поперечных размеров грани .............  181
       5.2.3. Квадрат площади грани ячейки ....................  181
       5.2.4. Деформация грани ячейки .........................  182
  5.3. Характеристики сеточных ячеек ..........................  184
       5.3.1. Отношение поперечных размеров ячейки ............  184
       5.3.2. Квадрат объема ячейки ...........................  185
       5.3.3. Квадрат площади поверхности ячейки ..............  185
       5.3.4. Деформация ячейки ...............................  185
       5.3.5. Характеристики неортогональности ................  187
       5.3.6. Характеристика сгущения сетки ...................  188
       5.3.7. Характеристики отклонения от конформности .......  190
       5.3.8. Эксцентриситет сетки ............................  195
       5.3.9. Меры сеточных искривлений и закручивания ........  195
       5.3.10.Относительная густота узлов сетки ...............  196
       5.3.11.Мера относительного сгущения ....................  198

Г л а в а 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ............................  200
  6.1. Базисные уравнения .....................................  200
       6.1.1. Уравнения Бельтрами .............................  200
       6.1.2. Уравнения диффузии ..............................  210
  6.2. Управляющая метрика ....................................  212
       6.2.1. Формула управляющей метрики .....................  213
       6.2.2. Вычисление контравариантных элементов ...........  214
       6.2.3. Вычисление ковариантных элементов ...............  216
       6.2.4. Формулы базисных управляющих метрик .............  218
  6.3. Обращенные уравнения ...................................  238
       6.3.1. Связь с основными уравнениями ...................	 238
       6.3.2. Недивергентные уравнения ........................  241
       6.3.3. Обращенные уравнения диффузии ...................  254
       6.3.4. Преобразование производных ∂ξi/∂sj
              в обращенных уравнениях Бельтрами и диффузии ....  255
       6.3.5. Дивергентные уравнения ..........................  264
  6.4.	Контролирование сгущения узлов сеток с помощью
       метрики мониторной поверхности .........................  270
       6.4.1. Основные геометрические соотношения .............  271
       6.4.2. Приложение теоремы к популярным моделям .........  284

Г л а в а 7. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ..............................  292
  7.1. Конечные разности ......................................  293
       7.1.1. Вычислительный алгоритм для одномерного
              уравнения .......................................  293
       7.1.2. Вычислительный алгоритм для двумерной
              краевой задачи ..................................  295
       7.1.3. Вычислительный алгоритм для построения
              пространственных сеток ..........................  303
  7.2. Метод спектральных элементов ...........................  309

Г л а в а 8. НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ
КОНСТРУИРОВАНИЯ РАЗНОСТНЫХ СЕТОК ..............................  312
  8.1. Формулы трансфинитной интерполяции .....................  312
       8.1.1. Формулы одномерной интерполяции .................  312
       8.1.2. Алгебраические преобразования ...................  319
       8.1.3. Лагранжевы и эрмитовы интерполяции ..............  323
  8.2. Сингулярные и слойные функции ..........................  332
       8.2.1. Определение .....................................  332
       8.2.2. Использование функций слойного типа
              в формулах управляющей метрики ..................  339

Г л а в а 9. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕТОК
И РАСЧЕТОВ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ...................................  350
  9.1. Примеры адаптивных пространственных сеток ..............  351
  9.2. Численные расчеты сингулярно возмущенных задач .........  361
       9.2.1. Одномерное сингулярно возмущенное уравнение
              второго порядка .................................  362
       9.2.2. Решение многомерной сингулярно
              возмущенной задачи ..............................  384
  9.3. Модельная задача о вихревом движении идеальной
       жидкости в канале криволинейного сечения ...............  403
  9.4. Задачи физики плазмы ...................................  405

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ......................................  410